ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

а) Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны, поэтому $BC\parallel AD$ и $BC=AD$. Точка $E$ — середина $BC$, значит,

$$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD.$$

Четырёхугольник $ABED$ — трапеция с основаниями $BE$ и $AD$: они параллельны, но не равны. Её боковые стороны $AB$ и $DE$ не параллельны, поэтому их продолжения пересекаются; обозначим точку пересечения $S$. Так как $BE<AD$, точка $S$ лежит на продолжении $AB$ за точку $B$ и на продолжении $DE$ за точку $E$.

Треугольники $SBE$ и $SAD$ подобны по двум углам: угол $S$ общий, а $\angle SBE=\angle SAD$ как соответственные при параллельных прямых $BE$ и $AD$. Коэффициент подобия равен $\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$, поэтому

$$SB=\frac{1}{2}SA,SE=\frac{1}{2}SD.$$

Значит, $B$ — середина отрезка $AS$, а $E$ — середина отрезка $DS$.

Прямая $BK$ проходит через середину $B$ отрезка $AS$ и перпендикулярна прямой $AB$, на которой лежит $AS$. Значит, $BK$ — серединный перпендикуляр к стороне $AS$ треугольника $ASD$. Аналогично прямая $EK$ проходит через середину $E$ отрезка $DS$ перпендикулярно ему, то есть $EK$ — серединный перпендикуляр к стороне $DS$.

Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Точка $K$ лежит на обоих серединных перпендикулярах, поэтому $KA=KS$ и $KS=KD$. Отсюда $AK=KD$, что и требовалось доказать. Заодно получили, что $K$ — центр окружности, описанной около треугольника $ASD$.

б) Пусть $M$ — середина $AD$. Треугольник $AKD$ равнобедренный ($AK=KD$), поэтому его медиана $KM$ является и высотой: $KM\perp AD$. Значит, расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно $KM$. По условию

$$KM=EC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=AM=MD.$$

Прямоугольные треугольники $AMK$ и $DMK$ равнобедренные: $AM=KM$ и $DM=KM$. Поэтому их острые углы равны $45^{\circ }$, в частности $\angle AKM=\angle DKM=45^{\circ }$, и

$$\angle AKD=\angle AKM+\angle DKM=90^{\circ }.$$

Угол $AKD$ — центральный угол окружности, описанной около треугольника $ASD$, он опирается на хорду $AD$. Вписанный угол $ASD$ опирается на ту же хорду. Поэтому он равен либо половине центрального угла, то есть $45^{\circ }$, либо $180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$ — в зависимости от того, на какой из двух дуг лежит точка $S$.

Углы $CED$ и $ADE$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $DE$. Точка $S$ лежит на луче $DE$, поэтому

$$\angle ADS=\angle ADE=\angle CED=58^{\circ }.$$

По теореме о сумме углов треугольника $ASD$

$$\angle ASD=180^{\circ }-\angle SAD-\angle ADS<180^{\circ }-58^{\circ }=122^{\circ }.$$

Значит, вариант $135^{\circ }$ невозможен, и $\angle ASD=45^{\circ }$.

Точка $S$ лежит на луче $AB$, поэтому $\angle BAD=\angle SAD$. Ещё раз применим теорему о сумме углов треугольника $ASD$:

$$\angle BAD=180^{\circ }-\angle ASD-\angle ADS=180^{\circ }-45^{\circ }-58^{\circ }=77^{\circ }.$$

Угол $77^{\circ }$ острый, что согласуется с условием.

Ответ: б) $77^{\circ }$.