ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — точка пересечения высот $AK$ и $CM$ (на первом рисунке она отмечена буквой $X$). Треугольник $ABC$ остроугольный, поэтому точка $O$ лежит внутри него — на отрезках $AK$ и $CM$.

Сначала поймём, где лежат точки $E$ и $H$. Треугольник $OMA$ прямоугольный: $\angle OMA=90^{\circ }$, так как $CM\perp AB$. Отрезок $ME$ перпендикулярен прямой $AK$, то есть является высотой этого треугольника, проведённой к гипотенузе $OA$. Основание высоты, проведённой из вершины прямого угла, лежит на гипотенузе, поэтому $E$ — точка отрезка $OA$.

Аналогично треугольник $OKC$ прямоугольный ($\angle OKC=90^{\circ }$, так как $AK\perp BC$), а $KH$ — его высота, проведённая к гипотенузе $OC$. Значит, $H$ лежит на отрезке $OC$.

Так как $AK\perp BC$ и $CM\perp AB$, то $\angle AKC=\angle AMC=90^{\circ }$. Точки $K$ и $M$ видят отрезок $AC$ под прямым углом, поэтому они лежат на окружности с диаметром $AC$. Значит, четырёхугольник $AMKC$ вписанный. Вписанные углы $CMK$ и $CAK$ опираются на одну дугу $CK$, поэтому

$$\angle CMK=\angle CAK.$$

Так как $ME\perp AK$ и $KH\perp CM$, то $\angle MEK=\angle MHK=90^{\circ }$. Точки $E$ и $H$ видят отрезок $MK$ под прямым углом, поэтому лежат на окружности с диаметром $MK$, и четырёхугольник $KMEH$ вписанный. Вписанные углы $HEK$ и $HMK$ опираются на одну дугу $HK$, поэтому

$$\angle HEK=\angle HMK.$$

Точка $H$ лежит на отрезке $MC$, поэтому луч $MH$ совпадает с лучом $MC$ и $\angle HMK=\angle CMK$. Получаем цепочку

$$\angle HEK=\angle HMK=\angle CMK=\angle CAK.$$

Точка $E$ лежит на отрезке $OA$, поэтому лучи $EK$ и $AK$ направлены одинаково (оба проходят через $O$). Значит, равные углы $HEK$ и $CAK$ — соответственные углы при прямых $EH$ и $AC$ и секущей $AK$, причём точки $H$ и $C$ лежат по одну сторону от этой секущей. По признаку параллельности прямых $EH\parallel AC$, что и требовалось доказать.

б) Треугольник $BMC$ прямоугольный с прямым углом $M$, и сумма его острых углов равна $90^{\circ }$, поэтому

$$\angle BCM=90^{\circ }-\angle ABC=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OKC$: в нём $\angle OKC=90^{\circ }$ и $\angle OCK=\angle MCB=30^{\circ }$. Обозначим $OK=x$. Катет, лежащий против угла в $30^{\circ }$, равен половине гипотенузы, поэтому $OC=2x$. Кроме того, $\angle KOC=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OHK$ с прямым углом $H$. Точка $H$ лежит на отрезке $OC$, поэтому $\angle HOK=\angle COK=60^{\circ }$ и $\angle OKH=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$. Катет $OH$ лежит против угла в $30^{\circ }$, значит,

$$OH=\frac{OK}{2}=\frac{x}{2}.$$

Треугольники $OEH$ и $OAC$ подобны по двум углам: угол $O$ у них общий (точка $E$ лежит на отрезке $OA$, точка $H$ — на отрезке $OC$), а $\angle OEH=\angle OAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $EH$ и $AC$ из пункта а). Из подобия

$$\frac{EH}{AC}=\frac{OH}{OC}=\frac{x/2}{2x}=\frac{1}{4}.$$

Ответ: б) $1:4$.