В трапеции угол прямой. Окружность, построенная на большем основании как на диаметре, пересекает меньшее основание в точках и .
а) Докажите, что .
б) Диагонали трапеции пересекаются в точке . Найдите площадь треугольника , если , а .
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
а) Точки и лежат на основании , поэтому , и . Значит, — трапеция с основаниями и , и все её вершины лежат на окружности. Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная, поэтому углы при её основании равны:
Вписанный угол опирается на диаметр , поэтому . В прямоугольном треугольнике
Точка лежит на отрезке , поэтому луч проходит внутри прямого угла , и
Сравнивая, получаем , что и требовалось доказать.
б) По условию , значит, — середина . Пусть .
Угол прямой, поэтому и — является высотой трапеции, и .
Пусть — центр окружности (середина ), — основание перпендикуляра, опущенного из на . Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, поэтому — середина хорды , и .
Четырёхугольник — прямоугольник (три его угла прямые), поэтому
Значит, радиус окружности равен и .
Точка лежит на окружности, поэтому . По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике
Тогда , .
Треугольники и подобны по двум углам: углы при вершине вертикальные, а как накрест лежащие при . Поэтому
Площадь прямоугольного треугольника ():
Треугольники и имеют общую высоту из вершины на прямую , поэтому их площади относятся как основания и :
Ответ: б) .