ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Пусть $AB=2c$ и $BC=2a$. Так как $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$, то $AE=EB=c$ и $BF=FC=a$.

Отрезок $EF$ соединяет середины двух сторон, то есть это средняя линия треугольника $ABC$. Она параллельна третьей стороне и равна её половине:

$$EF\parallel AC,EF=\frac{AC}{2}=2.$$

Вписанная окружность касается прямой $AC$ и лежит по ту же сторону от неё, что и $B$. Она касается и прямой $EF$, параллельной $AC$. Целиком по другую сторону от $EF$ (в треугольнике $EBF$) окружность лежать не может — тогда она не касалась бы $AC$. Значит, окружность лежит в полосе между параллельными прямыми $AC$ и $EF$, то есть внутри трапеции $AEFC$, и касается всех четырёх её сторон: $AE$, $EF$, $FC$, $CA$.

Итак, четырёхугольник $AEFC$ описан около окружности. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны:

$$AE+FC=EF+AC\Rightarrow c+a=2+4=6.$$

Тогда периметр треугольника $ABC$

$$P_{ABC}=AB+BC+AC=2c+2a+4=2(a+c)+4=2\cdot 6+4=16,$$

что и требовалось доказать.

б) По условию $\angle ACB=90^{\circ }$. По теореме Пифагора для треугольника $ABC$

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2\Rightarrow 4c^2=16+4a^2\Rightarrow c^2-a^2=4.$$

Разложим разность квадратов на множители и используем $a+c=6$ из пункта а):

$$(c-a)(c+a)=4\Rightarrow c-a=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$

Получаем систему

$$\{\begin{array}{l}c+a=6,\\ c-a=\frac{2}{3},\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}c=\frac{10}{3},\\ a=\frac{8}{3}.\end{array}$$

Значит, $FC=a=\frac{8}{3}$.

Четырёхугольник $AEFC$ — прямоугольная трапеция: основания $EF\parallel AC$, а боковая сторона $FC$ лежит на катете $BC$ и перпендикулярна основаниям, то есть является высотой. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$$S_{AEFC}=\frac{EF+AC}{2}\cdot FC=\frac{2+4}{2}\cdot \frac{8}{3}=8.$$

Проверим другим способом. Средняя линия отсекает треугольник $EBF$, подобный $ABC$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$, его площадь — четверть площади $ABC$. Поэтому

$$S_{AEFC}=\frac{3}{4}{S}_{ABC}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot \frac{16}{3}=8.$$

Ответ: б) $8$.