В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC₁ и медиану AA₁. Оказалось, что точки A, A₁, C и… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя 2020 развёрнутое

В остроугольном треугольнике $A B C$ провели высоту $C C_{1}$ и медиану $A A_{1} .$ Оказалось, что точки $A,$ $A_{1},$ $C$ и $C_{1}$ лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник $A B C$ равнобедренный.

б) Найдите площадь четырехугольника $A C_{1} A_{1} C,$ если $A A_{1} : C C_{1} = 4 : 3$ и $A_{1} C_{1} = 6.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Так как $C C_{1}$ — высота треугольника $A B C$ , то $∠ A C_{1} C = 9 0^{\circ}$ . Этот угол вписан в окружность, проходящую через $A$ , $A_{1}$ , $C$ , $C_{1}$ , и опирается на хорду $A C$ . Вписанный прямой угол опирается на диаметр, значит, $A C$ — диаметр этой окружности.

Вписанный угол $A A_{1} C$ тоже опирается на диаметр $A C$ , поэтому

$∠ A A_{1} C = 9 0^{\circ}, A A_{1} ⊥ B C .$

Таким образом, медиана $A A_{1}$ является и высотой треугольника $A B C$ . Тогда прямоугольные треугольники $A B A_{1}$ и $A C A_{1}$ равны по двум катетам ( $B A_{1} = C A_{1}$ , так как $A_{1}$ — середина $B C$ , катет $A A_{1}$ общий), и $A B = A C$ . Треугольник $A B C$ равнобедренный, что и требовалось доказать.

б) Треугольник $B C C_{1}$ прямоугольный с гипотенузой $B C$ , а $C_{1} A_{1}$ — его медиана, проведённая к гипотенузе. Такая медиана равна половине гипотенузы:

$A_{1} C_{1} = B A_{1} = C A_{1} = \frac{B C}{2} \Rightarrow B C = 2 \cdot 6 = 12, B A_{1} = 6.$

Рассмотрим треугольники $A B A_{1}$ и $C B C_{1}$ . Они прямоугольные ( $∠ A A_{1} B = ∠ C C_{1} B = 9 0^{\circ}$ ), и угол $B$ у них общий. Значит, они подобны по двум углам, причём $A$ соответствует $C$ , $A_{1}$ — вершине $C_{1}$ . Запишем отношения соответственных сторон:

$\frac{A B}{C B} = \frac{A A _{1}}{C C _{1}} = \frac{B A _{1}}{B C _{1}} = \frac{4}{3} .$

Отсюда

$A B = \frac{4}{3} \cdot B C = \frac{4}{3} \cdot 12 = 16, B C_{1} = \frac{3}{4} \cdot B A_{1} = \frac{3}{4} \cdot 6 = \frac{9}{2} .$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $A B A_{1}$

$A A_{1} = A B^{2} - B A_{1}^{2} = 256 - 36 = 220 = 255 .$

Так как $A A_{1}$ — высота, площадь треугольника $A B C$

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot A A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 255 = 1255 .$

Треугольники $A_{1} B C_{1}$ и $A B C$ имеют общий угол $B$ . Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними, поэтому

$\frac{S _{A_{1} B C_{1}}}{S _{A B C}} = \frac{\frac{1}{2} B A _{1} \cdot B C _{1} sin ∠ B}{\frac{1}{2} B A \cdot B C sin ∠ B} = \frac{B A _{1} \cdot B C _{1}}{B A \cdot B C} = \frac{6 \cdot \frac{9}{2}}{16 \cdot 12} = \frac{27}{192} = \frac{9}{64} .$

Значит,

$S_{A_{1} B C_{1}} = \frac{9}{64} \cdot 1255 = \frac{27 55}{16} .$

Точки $C_{1}$ и $A_{1}$ лежат на сторонах $A B$ и $B C$ ( $B C_{1} = \frac{9}{2} < 16$ ), поэтому отрезок $C_{1} A_{1}$ отрезает от треугольника $A B C$ треугольник $A_{1} B C_{1}$ , а остаётся четырёхугольник $A C_{1} A_{1} C$ :

$S_{A C_{1} A_{1} C} = S_{A B C} - S_{A_{1} B C_{1}} = 1255 - \frac{27 55}{16} = \frac{192 55 - 27 55}{16} = \frac{165 55}{16} .$

Проверим, что треугольник со сторонами $16$ , $16$ , $12$ остроугольный: наибольшая сторона $16$ , и $1 6^{2} = 256 < 1 6^{2} + 1 2^{2}$ , так что условие выполнено.

Ответ: б) $\frac{165 55}{16}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18