На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM=MC… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Параллелограммы средняя развёрнутое

На стороне $B C$ параллелограмма $A B C D$ выбрана точка $M$ такая, что $A M = M C$ .

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник $A M D$ окружности лежит на диагонали $A C$ .

б) Найдите радиус вписанной в треугольник $A M D$ окружности, если $A B = 5$ , $B C = 10$ , $∠ B A D = 6 0^{\circ}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Параллелограмм ABCD, окружность, вписанная в треугольник AMD

а) По условию $A M = M C$ , поэтому треугольник $A M C$ равнобедренный с основанием $A C$ , и углы при основании равны:

$∠ M A C = ∠ M C A .$

Противоположные стороны параллелограмма параллельны: $B C ∥ A D$ , а $A C$ — секущая. Углы $M C A$ и $C A D$ — накрест лежащие, поэтому

$∠ M C A = ∠ C A D .$

Значит, $∠ M A C = ∠ C A D$ , то есть луч $A C$ делит угол $M A D$ пополам — диагональ $A C$ лежит на биссектрисе угла $M A D$ треугольника $A M D$ .

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому он лежит на биссектрисе угла $M A D$ , то есть на луче $A C$ . Этот центр находится внутри треугольника $A M D$ , а внутри треугольника луч $A C$ идёт от $A$ до стороны $M D$ — это часть диагонали $A C$ . Значит, центр вписанной окружности лежит на диагонали $A C$ , что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Пусть $B M = x$ , тогда $M C = B C - B M = 10 - x$ , и по условию $A M = M C = 10 - x$ .

Рисунок к решению

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $18 0^{\circ}$ , поэтому

$∠ A B M = ∠ A B C = 18 0^{\circ} - ∠ B A D = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ} .$

Запишем теорему косинусов для треугольника $A B M$ :

$A M^{2} = A B^{2} + B M^{2} - 2 \cdot A B \cdot B M \cdot cos 12 0^{\circ},$

$(10 - x)^{2} = 25 + x^{2} - 2 \cdot 5 \cdot x \cdot (- \frac{1}{2}) = 25 + x^{2} + 5 x .$

Раскроем скобки:

$100 - 20 x + x^{2} = 25 + x^{2} + 5 x \Rightarrow 75 = 25 x \Rightarrow x = 3.$

Итак, $B M = 3$ , $A M = M C = 7$ .

Найдём $M D$ из треугольника $M C D$ . Противоположные стороны и углы параллелограмма равны: $C D = A B = 5$ , $∠ M C D = ∠ B C D = ∠ B A D = 6 0^{\circ}$ . По теореме косинусов

$M D^{2} = M C^{2} + C D^{2} - 2 \cdot M C \cdot C D \cdot cos 6 0^{\circ} = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 39, M D = 39 .$

Найдём площадь треугольника $A M D$ . Пусть $B H$ — высота параллелограмма, опущенная на $A D$ . Точка $M$ лежит на прямой $B C ∥ A D$ , поэтому расстояние от $M$ до $A D$ тоже равно $B H$ . Из прямоугольного треугольника $A B H$

$B H = A B \cdot sin 6 0^{\circ} = 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{5 3}{2},$

$S_{A M D} = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot B H = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{5 3}{2} = \frac{25 3}{2} .$

Полупериметр треугольника $A M D$ :

$p = \frac{A M + M D + A D}{2} = \frac{7 + 39 + 10}{2} = \frac{17 + 39}{2} .$

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру:

$r = \frac{S _{A M D}}{p} = \frac{25 3}{2} \cdot \frac{2}{17 + 39} = \frac{25 3}{17 + 39} .$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $17 - 39$ :

$r = \frac{25 3 ( 17 - 39 )}{289 - 39} = \frac{25 3 ( 17 - 39 )}{250} = \frac{17 3 - 117}{10} = \frac{17 3 - 3 13}{10} .$

Ответ: б) $\frac{25 3}{17 + 39} = \frac{17 3 - 3 13}{10}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18