ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Точка $E$ лежит на стороне $BC$, а $BC\parallel AD$, поэтому $BE\parallel AD$. Кроме того, $BE<BC=AD$, значит, четырёхугольник $ABED$ — трапеция с основаниями $BE$ и $AD$. Все её вершины лежат на данной окружности. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная, а диагонали равнобедренной трапеции равны:

$$AE=BD.$$

Аналогично точка $K$ лежит на стороне $CD$, а $CD\parallel AB$, поэтому $DK\parallel AB$, и $DK<DC=AB$. Значит, $ABKD$ — вписанная трапеция с основаниями $AB$ и $DK$. Она тоже равнобедренная, и её диагонали равны:

$$AK=BD.$$

Отсюда $AE=BD=AK$, что и требовалось доказать.

б) Обозначим $AB=a$, $AD=b$. По свойству параллелограмма $BC=AD=b$ и $CD=AB=a$. Угол $BAD$ острый, так как $\cos \angle BAD=0,2>0$.

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABED$ с основаниями $AD$ и $BE$. Опустим высоты $BP$ и $EQ$ на $AD$. Прямоугольные треугольники $ABP$ и $DEQ$ равны по гипотенузе и катету ($AB=DE$ — боковые стороны, $BP=EQ$ — высоты), поэтому $AP=QD$. Из треугольника $ABP$

$$AP=AB\cdot \cos \angle BAD=0,2a.$$

$BEQP$ — прямоугольник, поэтому $BE=PQ$, и

$$BE=AD-AP-QD=b-0,4a.$$

С другой стороны, $BE=BC-CE=b-10$. Приравниваем:

$$b-0,4a=b-10\Rightarrow 0,4a=10\Rightarrow a=25.$$

Теперь рассмотрим равнобедренную трапецию $ABKD$ с основаниями $AB$ и $DK$. Опустим высоты $DS$ и $KT$ на $AB$. Так же, как выше, $AS=TB$, и из прямоугольного треугольника $ADS$

$$AS=AD\cdot \cos \angle BAD=0,2b.$$

$DKTS$ — прямоугольник, поэтому $DK=ST$, и

$$DK=AB-AS-TB=a-0,4b.$$

По условию $DK=9$:

$$25-0,4b=9\Rightarrow 0,4b=16\Rightarrow b=40.$$

Проверим, что точки действительно на сторонах: $BE=40-10=30>0$ и $DK=9<CD=25$.

Ответ: б) $40$.