ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Пусть $r$ и $R$ — радиусы первой и второй окружностей. Сделаем рисунок: $AC$ — диаметр первой окружности, $D$ — вторая точка пересечения прямой $CA$ со второй окружностью (за точкой $A$), $E$ — вторая точка пересечения прямой $CB$ со второй окружностью (за точкой $B$).

а) Точки $O_1$ и $O_2$ равноудалены от $A$ и $B$ ($O_{1}A=O_{1}B$ и $O_{2}A=O_{2}B$ как радиусы), поэтому прямая $O_1{O}_2$ — серединный перпендикуляр к общей хорде $AB$. Пусть $P$ — середина $AB$. По условию $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от $AB$, поэтому $P$ лежит на отрезке $O_1{O}_2$, и луч $O_1{O}_2$ совпадает с лучом $O_{1}P$.

В равнобедренном треугольнике $A{O}_{1}B$ медиана $O_{1}P$ является биссектрисой, поэтому

$$\angle A{O}_1{O}_2=\frac{1}{2}\angle A{O}_{1}B.$$

Аналогично в равнобедренном треугольнике $A{O}_{2}B$

$$\angle A{O}_2{O}_1=\frac{1}{2}\angle A{O}_{2}B.$$

Точка $O_1$ — середина диаметра $AC$, поэтому $C$ и $O_1$ лежат по одну сторону от прямой $AB$. Тогда вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный угол $A{O}_{1}B$, и равен его половине:

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle A{O}_{1}B=\angle A{O}_1{O}_2.$$

Точка $A$ лежит между $C$ и $D$, поэтому $D$ лежит по другую сторону от $AB$, чем $C$ и $O_1$, то есть по ту же сторону, что и $O_2$. Значит, вписанный угол $ADB$ второй окружности равен половине центрального угла $A{O}_{2}B$:

$$\angle ADB=\frac{1}{2}\angle A{O}_{2}B=\angle A{O}_2{O}_1.$$

Точка $A$ лежит на отрезке $CD$, поэтому $\angle BCD=\angle BCA$ и $\angle BDC=\angle BDA$. Итак, в треугольниках $BCD$ и $A{O}_1{O}_2$

$$\angle BCD=\angle A{O}_1{O}_2,\angle BDC=\angle A{O}_2{O}_1.$$

По двум углам треугольники $BCD$ и $O_{1}A{O}_2$ подобны (вершине $C$ соответствует $O_1$, вершине $D$ — $O_2$, вершине $B$ — $A$), что и требовалось доказать.

б) По условию $R=3r$, поэтому $AC=2r$.

Вписанный угол $ABC$ опирается на диаметр $AC$, значит, $\angle ABC=90^{\circ }$. Точка $E$ лежит на продолжении $CB$ за точку $B$, поэтому угол $ABE$ смежный с углом $ABC$:

$$\angle ABE=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }.$$

Угол $ABE$ вписан во вторую окружность и равен $90^{\circ }$, значит, он опирается на диаметр: $AE$ — диаметр второй окружности (прямая $AE$ проходит через $O_2$), и

$$AE=2R=6r.$$

Вписанный угол $ADE$ тоже опирается на диаметр $AE$, поэтому $\angle ADE=90^{\circ }$.

Сравним треугольники $ADE$ и $ABC$. Они прямоугольные ($\angle ADE=\angle ABC=90^{\circ }$), и по условию $\angle DAE=\angle BAC$. Значит, они подобны по двум углам, и

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{6r}{2r}=3\Rightarrow AD=3\cdot AB=3\cdot 3=9.$$

Ответ: б) $9$.