На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники средняя развёрнутое

На стороне $A C$ равностороннего треугольника $A B C$ отмечена точка $M$ . Серединный перпендикуляр к отрезку $B M$ пересекает стороны $A B$ и $B C$ в точках $E$ и $K$ соответственно.

а) Докажите, что $∠ A E M = ∠ C M K$ .

б) Найдите отношение площадей треугольников $A E M$ и $C M K$ , если $A M : M C = 1 : 4$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Серединный перпендикуляр EK к отрезку BM

а) Пусть $O$ — середина отрезка $B M$ . Точки $E$ и $K$ лежат на серединном перпендикуляре к $B M$ , а каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Поэтому

$E B = E M, K B = K M .$

Треугольники $E B K$ и $E M K$ равны по трём сторонам: $E B = E M$ , $K B = K M$ , сторона $E K$ общая. Значит, равны и их углы при вершинах $B$ и $M$ :

$∠ E M K = ∠ E B K = ∠ A B C = 6 0^{\circ},$

так как $E$ лежит на стороне $B A$ , $K$ — на стороне $B C$ , а все углы равностороннего треугольника равны $6 0^{\circ}$ .

Обозначим $∠ A M E = α$ . Точка $E$ лежит на стороне $A B$ треугольника $A B M$ , поэтому луч $M E$ проходит внутри угла $A M B$ ; точка $K$ лежит на стороне $B C$ треугольника $C B M$ , поэтому луч $M K$ проходит внутри угла $B M C$ . Углы $A M E$ , $E M K$ и $K M C$ вместе составляют развёрнутый угол $A M C$ :

$∠ A M E + ∠ E M K + ∠ K M C = 18 0^{\circ} \Rightarrow ∠ C M K = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - α = 12 0^{\circ} - α .$

В треугольнике $A E M$ угол $E A M$ равен $6 0^{\circ}$ , и по теореме о сумме углов треугольника

$∠ A E M = 18 0^{\circ} - ∠ E A M - ∠ A M E = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - α = 12 0^{\circ} - α .$

Значит, $∠ A E M = ∠ C M K$ , что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

Заметим ещё, что в треугольнике $C M K$ угол $M K C = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - (12 0^{\circ} - α) = α$ .

б) У треугольников $A E M$ и $C M K$ равны два угла: $∠ E A M = ∠ M C K = 6 0^{\circ}$ и $∠ A E M = ∠ C M K$ (пункт а). По двум углам

$△ A E M \sim △ C M K,$

причём $A$ соответствует $C$ , $E$ — вершине $M$ , $M$ — вершине $K$ .

Пусть $A M = t$ , тогда $M C = 4 t$ , и сторона треугольника $A B = B C = A C = 5 t$ .

Найдём периметры, заменяя $E M$ на равный ему отрезок $E B$ , а $M K$ — на $K B$ :

$P_{A E M} = A E + E M + A M = A E + E B + A M = A B + A M = 5 t + t = 6 t,$

$P_{C M K} = C M + M K + K C = C M + K B + K C = C M + B C = 4 t + 5 t = 9 t .$

Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия:

$k = \frac{P _{A E M}}{P _{C M K}} = \frac{6 t}{9 t} = \frac{2}{3} .$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$\frac{S _{A E M}}{S _{C M K}} = k^{2} = (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9} .$

Ответ: б) $\frac{4}{9}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18