ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — точка пересечения высот $AK$ и $CM$. Треугольник остроугольный, поэтому $K$ лежит на стороне $BC$, $M$ — на стороне $AB$, а $O$ — внутри треугольника.

Треугольник $AMO$ прямоугольный с прямым углом $M$, поэтому основание $E$ перпендикуляра из $M$ на гипотенузу $AO$ лежит на отрезке $AO$. Аналогично в прямоугольном треугольнике $CKO$ точка $H$ лежит на отрезке $CO$.

Рассмотрим четырёхугольник $AMKC$. В нём

$$\angle AMC=\angle AKC=90^{\circ },$$

то есть из точек $M$ и $K$ отрезок $AC$ виден под прямым углом. Значит, $M$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $AC$, и четырёхугольник $AMKC$ вписанный. Вписанные углы $CAK$ и $CMK$ опираются на одну дугу $CK$, поэтому

$$\angle CAK=\angle CMK.$$

Рассмотрим четырёхугольник $KHEM$. В нём

$$\angle KHM=\angle KEM=90^{\circ },$$

поэтому $H$ и $E$ лежат на окружности с диаметром $MK$, и четырёхугольник $KHEM$ вписанный. Вписанные углы $HMK$ и $HEK$ опираются на одну дугу $HK$, поэтому

$$\angle HMK=\angle HEK.$$

Точка $H$ лежит на отрезке $MC$, поэтому $\angle CMK=\angle HMK$. Получаем цепочку

$$\angle CAK=\angle CMK=\angle HMK=\angle HEK.$$

Точки $A$ и $E$ лежат на прямой $AK$, причём лучи $AK$ и $EK$ сонаправлены, а точки $C$ и $H$ лежат по одну сторону от прямой $AK$ ($H$ — на отрезке $OC$). Значит, $\angle CAK$ и $\angle HEK$ — соответственные углы при прямых $AC$, $EH$ и секущей $AK$. Они равны, поэтому $EH\parallel AC$, что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим треугольники $EOH$ и $AOC$. Угол при вершине $O$ у них общий ($E$ лежит на луче $OA$, $H$ — на луче $OC$), а $\angle OEH=\angle OAC$ как соответственные при параллельных прямых $EH$ и $AC$. По двум углам $△EOH\sim △AOC$, поэтому

$$\frac{EH}{AC}=\frac{OE}{OA}.$$

В прямоугольном треугольнике $AKB$

$$\angle KAB=90^{\circ }-\angle ABK=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике $AMO$ угол при вершине $A$ — это тот же угол $KAB$, поэтому

$$\angle MOA=90^{\circ }-\angle MAO=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

Отрезок $ME$ — высота прямоугольного треугольника $AMO$, проведённая к гипотенузе. Выразим катеты через косинус угла $O$, общего для треугольников $MEO$ и $AMO$:

$$OE=OM\cdot \cos \angle EOM=OM\cos 30^{\circ }(\text{треугольник }MEO,\angle E=90^{\circ }),$$

$$OM=OA\cdot \cos \angle AOM=OA\cos 30^{\circ }(\text{треугольник }AMO,\angle M=90^{\circ }).$$

Отсюда $OE=OA{\cos }^{2}30^{\circ }$, и

$$\frac{EH}{AC}=\frac{OE}{OA}={\cos }^{2}30^{\circ }={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}.$$

Ответ: б) $\frac{3}{4}$.