ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Радиусы $OA$ и $OB$, проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам угла, и $OA=OB$. Значит, точка $O$ равноудалена от сторон угла $ANB$ и лежит на его биссектрисе, то есть $NO$ — биссектриса угла $ANB$.

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: $NA=NB$. Значит, треугольник $ANB$ равнобедренный с основанием $AB$, и его биссектриса $NO$, проведённая к основанию, является также высотой:

$$NO\perp AB.$$

Вписанный угол $BAC$ опирается на диаметр $BC$, поэтому $\angle BAC=90^{\circ }$, то есть

$$AC\perp AB.$$

Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой $AB$, параллельны. Значит, $AC\parallel NO$, то есть прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$, что и требовалось доказать.

б) Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $A$. По теореме Пифагора

$$BC=\sqrt{A{C}^2+A{B}^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{400}=20.$$

Тогда радиус окружности

$$AO=BO=CO=\frac{BC}{2}=10.$$

Рассмотрим четырёхугольник $ANBO$. В нём $\angle OAN=\angle OBN=90^{\circ }$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). Сумма противоположных углов равна $180^{\circ }$, значит, около $ANBO$ можно описать окружность. Вписанные углы $ANO$ и $ABO$ опираются на одну и ту же дугу $AO$, поэтому

$$\angle ANO=\angle ABO=\angle ABC$$

(последнее — потому что $O$ лежит на отрезке $BC$).

Сравним треугольники $NAO$ и $BAC$: $\angle NAO=\angle BAC=90^{\circ }$ и $\angle ANO=\angle ABC$. По двум углам

$$△NAO\sim △BAC,$$

причём $N$ соответствует $B$, $A$ — вершине $A$, $O$ — вершине $C$. Из пропорциональности соответственных сторон

$$\frac{NO}{BC}=\frac{AO}{AC}\Rightarrow NO=\frac{AO\cdot BC}{AC}=\frac{10\cdot 20}{12}=\frac{50}{3}.$$

Проверим другим способом. Пусть $Q$ — точка пересечения $NO$ и $AB$; она середина хорды $AB$, $BQ=8$, и $OQ=\sqrt{10^2-8^2}=6$. В прямоугольном треугольнике $NBO$ отрезок $BQ$ — высота к гипотенузе, поэтому $O{B}^2=OQ\cdot ON$, откуда $ON=\frac{100}{6}=\frac{50}{3}$.

Ответ: б) $\frac{50}{3}$.