ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Треугольник $ABC$ остроугольный, поэтому основание высоты $H$ лежит на стороне $AC$. Треугольник $ABH$ прямоугольный с прямым углом $H$, поэтому основание $K$ перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу $AB$, лежит на отрезке $AB$. Аналогично точка $M$ лежит на отрезке $BC$.

Обозначим $\angle BAC=\alpha$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ сумма острых углов равна $90^{\circ }$, поэтому $\angle ABH=90^{\circ }-\alpha$. В прямоугольном треугольнике $BKH$ (угол $K$ прямой)

$$\angle BHK=90^{\circ }-\angle KBH=90^{\circ }-(90^{\circ }-\alpha )=\alpha .$$

Рассмотрим четырёхугольник $BKHM$. В нём $\angle BKH=\angle BMH=90^{\circ }$, то есть сумма противоположных углов равна $180^{\circ }$. Значит, около него можно описать окружность.

Углы $BHK$ и $BMK$ — вписанные в эту окружность и опираются на одну и ту же дугу $BK$ (вершины $H$ и $M$ лежат на одной дуге). Поэтому они равны:

$$\angle BMK=\angle BHK=\alpha =\angle BAC.$$

Сравним треугольники $MBK$ и $ABC$: угол $B$ у них общий, а $\angle BMK=\angle BAC$. По двум углам

$$△MBK\sim △ABC,$$

причём $M$ соответствует $A$, $B$ — вершине $B$, $K$ — вершине $C$. Что и требовалось доказать.

б) Окружность, описанная около четырёхугольника $BKHM$, проходит через $B$, $K$, $M$, то есть является описанной окружностью треугольника $BMK$. Вписанный угол $BKH$ прямой, значит, он опирается на диаметр, и $BH$ — диаметр этой окружности. Радиус окружности, описанной около треугольника $BMK$, равен

$$\frac{BH}{2}=\frac{4}{2}=2.$$

У подобных треугольников радиусы описанных окружностей относятся как соответственные стороны. Действительно, по теореме синусов радиус окружности, описанной около $BMK$, равен $\frac{BK}{2\sin \angle BMK}$, а около $ABC$ — $\frac{BC}{2\sin \angle BAC}$; углы равны, поэтому отношение радиусов равно $\frac{BK}{BC}$ — коэффициенту подобия. Значит,

$$k=\frac{2}{5}.$$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$\frac{S_{BMK}}{S_{ABC}}=k^2=\frac{4}{25}\Rightarrow S_{BMK}=\frac{4}{25}{S}_{ABC}.$$

Точки $K$ и $M$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$, поэтому отрезок $KM$ делит треугольник $ABC$ на треугольник $BMK$ и четырёхугольник $AKMC$:

$$S_{AKMC}=S_{ABC}-S_{BMK}=S_{ABC}-\frac{4}{25}{S}_{ABC}=\frac{21}{25}{S}_{ABC}.$$

Отсюда

$$\frac{S_{BMK}}{S_{AKMC}}=\frac{4}{25}:\frac{21}{25}=\frac{4}{21}.$$

Ответ: б) $\frac{4}{21}$.