Окружности радиусов 11 и 24 с центрами O₁ и O₂ соответственно… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности сложная 2013 развёрнутое

Окружности радиусов 11 и 24 с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно касаются внутренним образом в точке $K;$ $M O_{1}$ и $N O_{2}$ — параллельные радиусы этих окружностей, причем $∠ M O_{1} O_{2} = 6 0^{\circ} .$ Найдите $M N .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Окружности касаются внутренним образом, поэтому центры $O_{1}$ , $O_{2}$ и точка касания $K$ лежат на одной прямой, причём $O_{1}$ лежит между $O_{2}$ и $K$ :

$O_{2} K = 24, O_{1} K = 11, O_{1} O_{2} = 24 - 11 = 13.$

Радиусы $O_{1} M$ и $O_{2} N$ параллельны. Возможны два случая: точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $O_{1} O_{2}$ (радиусы направлены одинаково) или по разные стороны (радиусы направлены противоположно). Конфигурации, симметричные относительно прямой $O_{1} O_{2}$ , дают ту же длину $M N$ , поэтому других случаев нет.

Случай 1. Точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $O_{1} O_{2}$ . Проведём отрезки $M K$ и $N K$ .

Лучи $O_{1} O_{2}$ и $O_{1} K$ противоположны, поэтому угол $M O_{1} K$ смежный с углом $M O_{1} O_{2}$ :

$∠ M O_{1} K = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ} .$

Прямые $O_{1} M$ и $O_{2} N$ параллельны, а лучи $O_{1} K$ и $O_{2} K$ сонаправлены. Углы $M O_{1} K$ и $N O_{2} K$ — соответственные при параллельных прямых $O_{1} M$ , $O_{2} N$ и секущей $O_{2} K$ , поэтому

$∠ N O_{2} K = ∠ M O_{1} K = 12 0^{\circ} .$

Треугольник $M O_{1} K$ равнобедренный ( $O_{1} M = O_{1} K = 11$ — радиусы), углы при основании равны:

$∠ O_{1} K M = \frac{18 0 ^{\circ} - 12 0 ^{\circ}}{2} = 3 0^{\circ} .$

Треугольник $N O_{2} K$ тоже равнобедренный ( $O_{2} N = O_{2} K = 24$ ), и так же $∠ O_{2} K N = 3 0^{\circ}$ .

Лучи $K M$ и $K N$ образуют с лучом $K O_{2}$ (он же луч $K O_{1}$ ) один и тот же угол $3 0^{\circ}$ и лежат по одну сторону от прямой $O_{1} O_{2}$ , значит, они совпадают. Итак, точки $K$ , $M$ , $N$ лежат на одной прямой, причём $M$ — на отрезке $K N$ .

Найдём $M K$ и $N K$ по теореме косинусов:

$M K^{2} = 1 1^{2} + 1 1^{2} - 2 \cdot 11 \cdot 11 \cdot cos 12 0^{\circ} = 3 \cdot 1 1^{2} \Rightarrow M K = 113,$

$N K^{2} = 2 4^{2} + 2 4^{2} - 2 \cdot 24 \cdot 24 \cdot cos 12 0^{\circ} = 3 \cdot 2 4^{2} \Rightarrow N K = 243 .$

Тогда

$M N = N K - M K = 243 - 113 = 133 .$

Случай 2. Точки $M$ и $N$ лежат по разные стороны от прямой $O_{1} O_{2}$ .

Продолжим радиус $M O_{1}$ за точку $O_{1}$ до пересечения с меньшей окружностью в точке $M^{'}$ ; $M M^{'}$ — диаметр. Теперь радиусы $O_{1} M^{'}$ и $O_{2} N$ параллельны и направлены одинаково, точки $M^{'}$ и $N$ лежат по одну сторону от $O_{1} O_{2}$ .

Угол $M^{'} O_{1} K$ вертикальный с углом $M O_{1} O_{2}$ , поэтому $∠ M^{'} O_{1} K = 6 0^{\circ}$ . Как и в первом случае, соответственные углы при параллельных прямых $O_{1} M^{'}$ , $O_{2} N$ и секущей $O_{2} K$ равны: $∠ N O_{2} K = 6 0^{\circ}$ .

Равнобедренные треугольники $M^{'} O_{1} K$ и $N O_{2} K$ с углом $6 0^{\circ}$ при вершине равносторонние, поэтому

$∠ O_{1} K M^{'} = ∠ O_{2} K N = 6 0^{\circ}, N K = O_{2} N = 24.$

Лучи $K M^{'}$ и $K N$ образуют с лучом $K O_{2}$ равные углы и лежат по одну сторону от прямой $O_{1} O_{2}$ , значит, совпадают: точка $M^{'}$ лежит на отрезке $K N$ .

Вписанный угол $M K M^{'}$ опирается на диаметр $M M^{'}$ , поэтому $∠ M K M^{'} = 9 0^{\circ}$ , а значит, и $∠ M K N = 9 0^{\circ}$ .

Угол $M O_{1} K$ смежный с углом $M O_{1} O_{2}$ : $∠ M O_{1} K = 12 0^{\circ}$ . Из равнобедренного треугольника $M O_{1} K$ , как в первом случае, $M K = 113$ .

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $M K N$

$M N^{2} = M K^{2} + N K^{2} = 363 + 576 = 939 \Rightarrow M N = 939 .$

Ответ: $133$ или $939$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18