ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Сделаем рисунок: прямая, проведённая через точку $E$ перпендикулярно $BC$, пересекает диагональ $BD$ в точке $R$, а прямую $AC$ — в точке $M$.

а) Введём обозначения. По условию $BE:EC=1:4$, пусть $BE=x$, $EC=4x$. По условию $BR:RD=1:3$, пусть $BR=y$, $RD=3y$, тогда $BD=4y$.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO=OD=\frac{BD}{2}=2y$ и $AO=OC$. Значит,

$$RO=BO-BR=2y-y=y,$$

то есть $R$ — середина отрезка $BO$.

Рассмотрим треугольник $BOC$ и прямую $ER$. Она пересекает сторону $BC$ в точке $E$, сторону $BO$ в точке $R$ и прямую $OC$ в точке $M$. По теореме Менелая

$$\frac{BR}{RO}\cdot \frac{OM}{MC}\cdot \frac{CE}{EB}=1\Rightarrow \frac{y}{y}\cdot \frac{OM}{MC}\cdot \frac{4x}{x}=1\Rightarrow \frac{OM}{MC}=\frac{1}{4}.$$

Выясним, где лежит точка $M$. Прямая, не проходящая через вершины треугольника, не может пересечь все три его стороны во внутренних точках. Стороны $BC$ и $BO$ прямая $ER$ уже пересекла, значит, $M$ лежит на продолжении отрезка $OC$. При этом $MC=4OM>OM$, то есть $M$ ближе к $O$, чем к $C$. Следовательно, $M$ лежит на продолжении $CO$ за точку $O$, и точка $O$ находится между $M$ и $C$.

Пусть $OM=z$, тогда $MC=4z$ и

$$OC=MC-OM=4z-z=3z,AO=OC=3z.$$

Так как $OM=z<AO$, точка $M$ лежит на отрезке $OA$, и

$$AM=AO-OM=3z-z=2z.$$

Отсюда

$$\frac{CM}{MA}=\frac{4z}{2z}=\frac{2}{1},$$

то есть точка $M$ делит $AC$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$, что и требовалось доказать.

б) Сохраним обозначения пункта а): $OR=y$, $OB=2y$, $OM=z$, $OC=3z$.

Точка $E$ лежит на стороне $BC$, то есть по ту же сторону от диагонали $BD$, что и $C$, а точка $M$ — на отрезке $OA$, по другую сторону от $BD$. Поэтому отрезок $EM$ пересекает $BD$, и точка пересечения — это $R$. Итак, $R$ лежит на отрезке $ME$, а $O$ — на отрезке $MC$.

Рассмотрим треугольник $MEC$. В нём $\angle MEC=90^{\circ }$, так как $ME\perp BC$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }$, поэтому

$$\angle EMC=90^{\circ }-\angle ECM=90^{\circ }-\angle BCO.$$

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольник $BOC$ прямоугольный с прямым углом $O$, и

$$\angle OBC=90^{\circ }-\angle BCO.$$

Значит, $\angle RMO=\angle EMC=\angle OBC$.

Сравним треугольники $MOR$ и $BOC$: $\angle MOR=\angle BOC=90^{\circ }$ и $\angle OMR=\angle OBC$. По двум углам

$$△MOR\sim △BOC,$$

причём $M$ соответствует $B$, $O$ — вершине $O$, $R$ — вершине $C$. Соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны:

$$\frac{OM}{OB}=\frac{OR}{OC}=\frac{MR}{BC}.$$

Подставим длины в первое равенство:

$$\frac{z}{2y}=\frac{y}{3z}\Rightarrow 3z^2=2y^2\Rightarrow \frac{z}{y}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$$

Из второго равенства выразим сторону ромба:

$$BC=MR\cdot \frac{OC}{OR}=MR\cdot \frac{3z}{y}=2\sqrt{3}\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{18}=6\sqrt{2}.$$

Все стороны ромба равны, поэтому его периметр

$$P_{ABCD}=4\cdot BC=4\cdot 6\sqrt{2}=24\sqrt{2}.$$

Ответ: б) $24\sqrt{2}$.