Дан ромб ABCD. На диагонали AC отмечены точки M и N так, что AM=MN=NC. Прямая BM пересекает сторону AD в точке P, а прямая BN… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Квадрат, прямоугольник, ромб сложная 2025 развёрнутое

Дан ромб $A B C D$ . На диагонали $A C$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $A M = M N = N C$ . Прямая $B M$ пересекает сторону $A D$ в точке $P$ , а прямая $B N$ пересекает сторону $C D$ в точке $Q$ .

а) Докажите, что площадь четырехугольника $B P D Q$ равна площади треугольника $A D C$ .

б) Найдите $B D$ , если известно, что $A C = 23$ и около пятиугольника $M N Q D P$ можно описать окружность.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $R$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому $R$ — середина $B D$ и середина $A C$ . Значит, $A R$ — медиана треугольника $A B D$ , и

$A M = \frac{1}{3} A C = \frac{2}{3} A R .$

Точка $M$ лежит на медиане $A R$ и делит её в отношении $2 : 1$ , считая от вершины $A$ . Такая точка на медиане одна — это точка пересечения медиан треугольника $A B D$ . Следовательно, прямая $B M$ содержит медиану треугольника $A B D$ , проведённую из вершины $B$ , и точка $P$ — середина $A D$ .

Аналогично $C N = \frac{2}{3} C R$ , точка $N$ — точка пересечения медиан треугольника $C B D$ , и $Q$ — середина $C D$ .

Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади. В треугольнике $A B D$ медианы $B P$ и $A R$ дают

$S_{B P D} = \frac{1}{2} S_{A B D} = S_{A R D} .$

В треугольнике $C B D$ медианы $B Q$ и $C R$ дают

$S_{B Q D} = \frac{1}{2} S_{C B D} = S_{C R D} .$

Рисунок к решению

Диагональ $B D$ делит четырёхугольник $B P D Q$ на треугольники $B P D$ и $B Q D$ , а отрезок $D R$ делит треугольник $A C D$ на треугольники $A R D$ и $C R D$ . Поэтому

$S_{B P D Q} = S_{B P D} + S_{B Q D} = S_{A R D} + S_{C R D} = S_{A C D} .$

Что и требовалось доказать.

б) По пункту а) $P$ — середина $A D$ . Обозначим $A P = P D = x$ , тогда $A D = 2 x$ .

Ромб ABCD и окружность через M, N, Q, D, P

Около пятиугольника $M N Q D P$ описана окружность. Прямая $A C$ пересекает её в точках $M$ и $N$ , а прямая $A D$ — в точках $P$ и $D$ . Обе точки каждой пары лежат по одну сторону от $A$ , поэтому $A$ находится вне окружности. По свойству секущих, проведённых из одной точки, произведение секущей на её внешнюю часть постоянно:

$A M \cdot A N = A P \cdot A D .$

Рисунок к решению

Так как $A M = M N = N C$ , имеем

$A M = \frac{1}{3} A C = \frac{2 3}{3}, A N = \frac{2}{3} A C = \frac{4 3}{3} .$

Подставляем:

$\frac{2 3}{3} \cdot \frac{4 3}{3} = x \cdot 2 x, \frac{8}{3} = 2 x^{2}, x^{2} = \frac{4}{3}, A D^{2} = 4 x^{2} = \frac{16}{3} .$

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольник $A R D$ прямоугольный, $A R = \frac{A C}{2} = 3$ . По теореме Пифагора

$R D = A D^{2} - A R^{2} = \frac{16}{3} - 3 = \frac{7}{3} = \frac{21}{3} .$

Значит, $B D = 2 R D = \frac{2 21}{3}$ .

Ответ: б) $\frac{2 21}{3}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18