Дан ромб ABCD. На диагонали AC отмечены точки M и N так, что AM=MN=NC. Прямая BM пересекает сторону AD в точке P, а прямая BN… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Квадрат, прямоугольник, ромб сложная 2025 развёрнутое

Дан ромб $A B C D .$ На диагонали $A C$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $A M = M N = N C .$ Прямая $B M$ пересекает сторону $A D$ в точке $P,$ а прямая $B N$ пересекает сторону $C D$ в точке $Q .$

а) Докажите, что площадь четырехугольника $B P D Q$ равна площади треугольника $A D C .$

б) Найдите $B D,$ если известно, что $A C = 25$ и около пятиугольника $M N Q D P$ можно описать окружность.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Противоположные стороны ромба параллельны: $A B ∥ C D$ и $A D ∥ B C$ . Кроме того, $A N = A M + M N = 2 N C$ и $M C = M N + N C = 2 A M$ .

Рассмотрим треугольники $A B N$ и $C QN$ . Углы $N A B$ и $N C Q$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $A B$ , $C D$ и секущей $A C$ . Углы $A N B$ и $C N Q$ равны как вертикальные. Значит, треугольники подобны по двум углам, и

$\frac{C Q}{A B} = \frac{C N}{A N} = \frac{1}{2} .$

Отсюда $C Q = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} C D$ , то есть $Q$ — середина $C D$ .

Точно так же треугольники $A M P$ и $C M B$ подобны по двум углам: $∠ M A P = ∠ M C B$ как накрест лежащие при параллельных прямых $A D$ , $B C$ и секущей $A C$ , а $∠ A M P = ∠ C M B$ как вертикальные. Поэтому

$\frac{A P}{C B} = \frac{A M}{C M} = \frac{1}{2},$

и $A P = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} A D$ , то есть $P$ — середина $A D$ .

Обозначим площадь ромба через $S$ . Каждая диагональ делит ромб на два равных треугольника, поэтому

$S_{A D C} = S_{A B D} = S_{C B D} = \frac{S}{2} .$

Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади. В треугольнике $A B D$ отрезок $B P$ — медиана, поэтому $S_{B P D} = \frac{1}{2} S_{A B D} = \frac{S}{4}$ . В треугольнике $C B D$ отрезок $B Q$ — медиана, поэтому $S_{B Q D} = \frac{1}{2} S_{C B D} = \frac{S}{4}$ .

Диагональ $B D$ делит четырёхугольник $B P D Q$ на треугольники $B P D$ и $B Q D$ , значит,

$S_{B P D Q} = S_{B P D} + S_{B Q D} = \frac{S}{4} + \frac{S}{4} = \frac{S}{2} = S_{A D C} .$

Что и требовалось доказать.

б) Проведём отрезок $D N$ . В треугольнике $A D N$ точка $P$ — середина $A D$ (пункт а), а $M$ — середина $A N$ (так как $A M = M N$ ). Значит, $P M$ — средняя линия этого треугольника:

$P M ∥ D N, P M = \frac{1}{2} D N .$

В четырёхугольнике $P M N D$ стороны $P M$ и $D N$ параллельны и не равны, поэтому это трапеция с основаниями $P M$ и $D N$ и боковыми сторонами $M N$ и $D P$ . Все её вершины лежат на окружности, описанной около пятиугольника $M N Q D P$ , то есть трапеция вписанная. Вписанная трапеция равнобедренная, поэтому её боковые стороны равны:

$D P = M N = \frac{1}{3} A C = \frac{2 5}{3} .$

Так как $P$ — середина $A D$ ,

$A D = 2 D P = \frac{4 5}{3} .$

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $A O = \frac{1}{2} A C = 5$ , а треугольник $A O D$ прямоугольный. По теореме Пифагора

$D O^{2} = A D^{2} - A O^{2} = \frac{16 \cdot 5}{9} - 5 = \frac{80 - 45}{9} = \frac{35}{9}, D O = \frac{35}{3} .$

Значит, $B D = 2 D O = \frac{2 35}{3}$ .

Ответ: б) $\frac{2 35}{3}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18