ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Прямой угол треугольника — угол $C$. Так как $CK:KB=1:3$, имеем $CK=\frac{BC}{4}$, а так как $N$ — середина $BC$, имеем $CN=NB=\frac{BC}{2}$.

Пусть $Q$ — середина отрезка $AN$. В треугольнике $ABN$ точки $Q$ и $M$ — середины сторон $AN$ и $AB$, поэтому $QM$ — средняя линия: она параллельна стороне $NB$ и равна её половине,

$$QM\parallel NB,QM=\frac{NB}{2}=\frac{BC}{4}=CK.$$

Отрезки $CK$ и $QM$ параллельны прямой $BC$, равны и направлены одинаково (от $C$ к $B$). Значит, четырёхугольник $CKMQ$ — параллелограмм, и его противоположные стороны равны: $KM=CQ$.

В прямоугольном треугольнике $ACN$ (угол $C$ прямой) отрезок $CQ$ — медиана, проведённая к гипотенузе $AN$, а она равна половине гипотенузы: $CQ=\frac{AN}{2}$. Следовательно, $KM=\frac{AN}{2}$, то есть $AN=2KM$. Что и требовалось доказать.

б) При $BC=8$ имеем $CK=2$, $CN=NB=4$, $KN=2$, $BK=6$.

Сначала найдём, в каком отношении точка $P$ делит $AN$. Прямая $KM$ пересекает стороны $AB$ и $AN$ треугольника $ABN$ в точках $M$ и $P$, а продолжение стороны $BN$ за точку $N$ — в точке $K$. По теореме Менелая

$$\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BK}{KN}\cdot \frac{NP}{PA}=1,1\cdot \frac{6}{2}\cdot \frac{NP}{PA}=1,AP:PN=3:1.$$

Точка $P$ лежит внутри треугольника $ABC$, поэтому прямая $BP$ выходит из вершины $B$ и пересекает противоположную сторону $AC$ в некоторой точке $X$. Искомый отрезок — это $BX$.

Прямая $BX$ пересекает стороны $AN$ и $AC$ треугольника $ANC$ в точках $P$ и $X$, а продолжение стороны $CN$ за точку $N$ — в точке $B$. По теореме Менелая для треугольника $ANC$

$$\frac{AP}{PN}\cdot \frac{NB}{BC}\cdot \frac{CX}{XA}=1,3\cdot \frac{4}{8}\cdot \frac{CX}{XA}=1,CX:XA=2:3.$$

Значит,

$$CX=\frac{2}{5}\cdot AC=\frac{2}{5}\cdot 6=\frac{12}{5}.$$

Треугольник $BCX$ прямоугольный (угол $C$ прямой), по теореме Пифагора

$$BX=\sqrt{B{C}^2+C{X}^2}=\sqrt{64+\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{1744}{25}}=\frac{\sqrt{16\cdot 109}}{5}=\frac{4\sqrt{109}}{5}.$$

Ответ: б) $\frac{4\sqrt{109}}{5}$.