ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

а) Точка $M$ лежит на стороне $BC$ между $B$ и $C$, отрезки $BM$ и $AD$ параллельны и направлены одинаково, поэтому $ABMD$ — выпуклый четырёхугольник, вписанный в окружность. Сумма его противоположных углов равна $180^{\circ }$:

$$\angle BAD+\angle BMD=180^{\circ }.$$

Углы $BMD$ и $DMC$ смежные, их сумма тоже $180^{\circ }$. Значит,

$$\angle DMC=\angle BAD.$$

Прямые $BC$ и $AD$ параллельны, $DM$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle ADM=\angle DMC=\angle BAD$.

Противоположные углы параллелограмма равны: $\angle BAD=\angle BCD$. Точка $N$ лежит на продолжении $CD$ за точку $D$, поэтому углы $BCD$ и $ADN$ — соответственные при параллельных прямых $BC$, $AD$ и секущей $CN$, и $\angle BCD=\angle ADN$. Получаем

$$\angle ADM=\angle BAD=\angle BCD=\angle ADN.$$

Углы $ADM$ и $ADN$ вписаны в одну окружность радиуса $\rho$ и опираются на хорды $AM$ и $AN$. По теореме синусов для треугольников $ADM$ и $ADN$, вписанных в эту окружность,

$$AM=2\rho \sin \angle ADM=2\rho \sin \angle ADN=AN.$$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $AB=CD=x$, тогда $BC=AD=3x$.

В пункте а) мы получили $\angle DMC=\angle BAD=\angle BCD$, то есть в треугольнике $CDM$ равны углы при вершинах $M$ и $C$. Значит, он равнобедренный с основанием $CM$: $DM=DC$. Проведём его высоту $DH$; в равнобедренном треугольнике она же медиана, поэтому $CH=HM$.

Угол $C$ острый, так как $\cos \angle BCD=\cos \angle BAD=0,4>0$. Из прямоугольного треугольника $CDH$

$$CH=CD\cdot \cos \angle DCH=0,4x=\frac{2x}{5},CM=2CH=\frac{4x}{5}.$$

Точка $C$ лежит вне окружности, и из неё проведены две секущие: $CB$ (пересекает окружность в точках $M$ и $B$) и $CN$ (пересекает окружность в точках $D$ и $N$). Произведение секущей на её внешнюю часть одно и то же для всех секущих из одной точки:

$$CM\cdot CB=CD\cdot CN,\frac{4x}{5}\cdot 3x=x\cdot CN,CN=\frac{12x}{5}.$$

Тогда

$$DN=CN-CD=\frac{12x}{5}-x=\frac{7x}{5},CD:DN=x:\frac{7x}{5}=5:7.$$

Ответ: б) $5:7$.