Точка — середина стороны треугольника В треугольник вписана окружность, которая касается в точке
а) Докажите, что
б) Известно, что а относится к радиусу вписанной окружности как Найдите углы треугольника.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
а) Пусть и — точки касания вписанной окружности со сторонами и . Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому обозначим
Тогда стороны треугольника равны
Точки и лежат на отрезке , и их расстояния от точки равны и . Поэтому
Осталось заметить, что
Значит, . Что и требовалось доказать.
б) Так как и , точка равноудалена от вершин , и . Значит, — центр окружности, описанной около треугольника , а — её диаметр. Вписанный угол опирается на диаметр, поэтому .
Пусть — центр вписанной окружности, — её радиус. Радиусы и перпендикулярны сторонам и как радиусы, проведённые в точки касания. В четырёхугольнике три угла прямые, значит, это прямоугольник, а его соседние стороны равны. Следовательно, — квадрат и
По условию , то есть . Тогда , и точка лежит между и . По пункту а) и по условию
Выразим стороны через и :
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника
Раскроем скобки:
Так как , получаем . Тогда
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
Ответ: б) , , .