Точки K и M — середины сторон AB и BC соответственно параллелограмма ABCD. Отрезки AM и CK пересекаются в точке P. а) Докажите… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Параллелограммы средняя 2025 развёрнутое

Точки $K$ и $M$ — середины сторон $A B$ и $B C$ соответственно параллелограмма $A B C D$ . Отрезки $A M$ и $C K$ пересекаются в точке $P$ .

а) Докажите, что точка $P$ принадлежит диагонали $B D$ .

б) Найдите площадь параллелограмма, если известно, что $A B = 17$ , $B P = 4$ и $B C = 25$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $A C$ и $B D$ . Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому $O$ — середина $A C$ и середина $B D$ .

Параллелограмм ABCD, медианы AM и CK треугольника ABC

Рассмотрим треугольник $A B C$ . Точка $M$ — середина $B C$ , точка $K$ — середина $A B$ , значит, $A M$ и $C K$ — его медианы, а $P$ — точка их пересечения. Отрезок $B O$ соединяет вершину $B$ с серединой $A C$ , то есть это третья медиана треугольника $A B C$ .

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому медиана $B O$ проходит через $P$ . Отрезок $B O$ — часть диагонали $B D$ , значит, точка $P$ лежит на диагонали $B D$ . Что и требовалось доказать.

б) Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2 : 1$ , считая от вершины. Поэтому

$B P : P O = 2 : 1, P O = \frac{B P}{2} = 2, B O = B P + P O = 6.$

Точка $O$ — середина $B D$ , значит, $B D = 2 B O = 12$ .

Рисунок к решению

Рассмотрим треугольник $A B D$ . В нём $A B = 17$ , $A D = B C = 25$ (противоположные стороны параллелограмма равны) и $B D = 12$ . Его полупериметр

$p = \frac{17 + 25 + 12}{2} = 27.$

По формуле Герона

$S_{A B D} = p (p - A B) (p - A D) (p - B D) = 27 \cdot 10 \cdot 2 \cdot 15 = 8100 = 90.$

Диагональ $B D$ делит параллелограмм на два равных треугольника $A B D$ и $C D B$ , поэтому

$S_{A B C D} = 2 S_{A B D} = 180.$

Ответ: б) $180$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18