ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

а) Пусть $AD$ и $BC$ — основания трапеции, $AD+BC=13$, а диагонали $AC=5$ и $BD=12$.

Отложим на продолжении основания $AD$ за точку $D$ отрезок $D{C}_1=BC$. Отрезки $BC$ и $D{C}_1$ параллельны, равны и направлены в одну сторону, поэтому четырёхугольник $BC{C}_{1}D$ — параллелограмм (две его противоположные стороны равны и параллельны). Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, значит,

$$C{C}_1=BD=12,C{C}_1\parallel BD.$$

Кроме того,

$$A{C}_1=AD+D{C}_1=AD+BC=13.$$

Стороны треугольника $AC{C}_1$ равны $5$, $12$ и $13$, причём

$$A{C}^2+C{C}_1^2=25+144=169=A{C}_1^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $AC{C}_1$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$, то есть $AC\perp C{C}_1$. А так как $C{C}_1\parallel BD$, то и $AC\perp BD$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $CH$ — высота треугольника $AC{C}_1$, проведённая к стороне $A{C}_1$. Прямая $A{C}_1$ содержит основание $AD$, а точка $C$ лежит на другом основании, поэтому $CH$ — высота трапеции.

Запишем площадь прямоугольного треугольника $AC{C}_1$ двумя способами — через катеты и через гипотенузу и высоту:

$$\frac{1}{2}\cdot AC\cdot C{C}_1=\frac{1}{2}\cdot A{C}_1\cdot CH\Rightarrow CH=\frac{AC\cdot C{C}_1}{A{C}_1}=\frac{5\cdot 12}{13}=\frac{60}{13}.$$

То же самое получается из площади трапеции. Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине их произведения, а площадь трапеции — произведению полусуммы оснований на высоту $h$:

$$\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD,\frac{13}{2}\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12,h=\frac{60}{13}.$$

Ответ: б) $\frac{60}{13}$.