ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Проведём диагональ $AC$. Данная окружность описана и около треугольника $ABC$, и около треугольника $ACD$. По теореме синусов

$$\frac{AB}{\sin \angle ACB}=2R,\frac{CD}{\sin \angle CAD}=2R.$$

Так как $AB=CD=40$ и $2R=50$, получаем

$$\sin \angle ACB=\sin \angle CAD=\frac{40}{50}=\frac{4}{5}.$$

Углы с равными синусами либо равны, либо в сумме дают $180^{\circ }$. Покажем, что второе невозможно. Вписанный четырёхугольник выпуклый, его диагональ $AC$ проходит внутри углов $BCD$ и $BAD$, поэтому $\angle ACB<\angle BCD$ и $\angle CAD<\angle BAD$. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^{\circ }$, значит,

$$\angle ACB+\angle CAD<\angle BCD+\angle BAD=180^{\circ }.$$

Следовательно, $\angle ACB=\angle CAD$. Точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от диагонали $AC$, поэтому эти углы — накрест лежащие при прямых $BC$, $AD$ и секущей $AC$. Раз накрест лежащие углы равны, прямые $BC$ и $AD$ параллельны. Что и требовалось доказать.

б) Обозначим $\alpha =\angle CAD=\angle ACB$. Из пункта а) $2\alpha <180^{\circ }$, то есть угол $\alpha$ острый, и

$$\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Найдём диагональ $AC$ по теореме косинусов в треугольнике $ABC$ (сторона $AB$ лежит против угла $ACB=\alpha$):

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \alpha ,1600=A{C}^2+196-2\cdot 14\cdot \frac{3}{5}\cdot AC.$$

Умножим на $5$ и перенесём всё в одну часть:

$$5A{C}^2-84AC-7020=0,D=84^2+4\cdot 5\cdot 7020=147456=384^2.$$

Длина положительна, поэтому

$$AC=\frac{84+384}{10}=\frac{234}{5}.$$

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $ACD$ (сторона $CD$ лежит против угла $CAD=\alpha$):

$$C{D}^2=A{C}^2+A{D}^2-2\cdot AC\cdot AD\cdot \cos \alpha ,1600=\frac{54756}{25}+A{D}^2-2\cdot \frac{234}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot AD.$$

Умножим на $25$:

$$25A{D}^2-1404AD+14756=0,\frac{D}{4}=702^2-25\cdot 14756=123904=352^2,$$

$$AD=\frac{702\pm 352}{25},AD=\frac{1054}{25}=42,16\text{или}AD=\frac{350}{25}=14.$$

Исключим $AD=14$. Тогда $AD=BC$ и $AD\parallel BC$, то есть $ABCD$ — параллелограмм. У вписанного параллелограмма противоположные углы равны и в сумме дают $180^{\circ }$, поэтому он прямоугольник. Но тогда $\angle ABC=90^{\circ }$ и диагональ $AC$ — диаметр, $AC=50$, а мы нашли $AC=\frac{234}{5}=46,8$. Противоречие.

Значит, $AD=42,16$.

Ответ: б) $42,16$.