ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $\angle BAC=\alpha$. Треугольник $ABC$ остроугольный, поэтому центр $O$ описанной окружности лежит внутри него. Вписанный угол $BAC$ и центральный угол $BOC$ опираются на одну дугу $BC$, поэтому центральный угол вдвое больше вписанного:

$$\angle BOC=2\alpha .$$

Треугольник $OBC$ равнобедренный ($OB=OC$ как радиусы), значит, углы при его основании равны:

$$\angle OBC=\frac{180^{\circ }-2\alpha }{2}=90^{\circ }-\alpha .$$

Точка $K$ лежит на продолжении $AO$ за точку $O$, поэтому луч $KO$ совпадает с лучом $KA$, и по условию

$$\angle OKC=\angle AKC=90^{\circ }-\alpha =\angle OBC.$$

Проверим, что точки $B$ и $K$ лежат по одну сторону от прямой $OC$. Луч $AO$ за точкой $O$ выходит из треугольника через сторону $BC$ в некоторой точке $D$. Точки $B$ и $D$ лежат на отрезке $BC$ по одну сторону от точки $C$, а прямая $OC$ пересекает прямую $BC$ только в точке $C$; значит, $B$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $OC$. Точка $K$ лежит на луче $OD$ и отлична от $O$, поэтому она с той же стороны, что и $D$.

Итак, точки $B$ и $K$, лежащие по одну сторону от прямой $OC$, видят отрезок $OC$ под одним и тем же углом $90^{\circ }-\alpha$. Множество таких точек — дуга окружности, проходящей через $O$ и $C$, поэтому точки $O$, $B$, $K$, $C$ лежат на одной окружности: четырёхугольник $OBKC$ вписанный. Что и требовалось доказать.

б) Окружность, описанная около четырёхугольника $OBKC$, — это окружность, описанная около треугольника $OBC$. Обозначим её радиус $\rho$. По теореме синусов для треугольника $OBC$

$$\frac{BC}{\sin \angle BOC}=2\rho .$$

Угол $\alpha$ острый, поэтому $\sin \alpha >0$ и по основному тригонометрическому тождеству

$$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

По формуле синуса двойного угла

$$\sin \angle BOC=\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{24}{25}.$$

Тогда

$$2\rho =48:\frac{24}{25}=48\cdot \frac{25}{24}=50,\rho =25.$$

Ответ: б) $25$.