ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

а) Треугольник $ABC$ равнобедренный с вершиной $A$, поэтому углы при основании равны:

$$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }.$$

В прямоугольнике $DEFH$ противоположные стороны равны и параллельны, а соседние перпендикулярны. Сторона $FH$ лежит на $BC$, значит, $DE\parallel BC$, $DE=FH$ и $DH\perp BC$.

В прямоугольном треугольнике $CDH$ катет $DH$ лежит против угла $C=30^{\circ }$, поэтому он равен половине гипотенузы:

$$DH=\frac{CD}{2},CD=2DH.$$

Осталось доказать, что $DE=CD$.

Прямые $DE$ и $BC$ параллельны, $BD$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle EDB=\angle DBC$. Так как $BD$ — биссектриса угла $B$, $\angle DBC=\angle DBE$. Значит, $\angle EDB=\angle EBD$, треугольник $BED$ равнобедренный и

$$DE=BE.$$

Из той же параллельности соответственные углы равны: $\angle AED=\angle ABC=30^{\circ }$ и $\angle ADE=\angle ACB=30^{\circ }$. Треугольник $AED$ равнобедренный, $AE=AD$. Тогда

$$BE=AB-AE=AC-AD=CD.$$

Получаем $FH=DE=BE=CD=2DH$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $AB=AC=4$. По теореме косинусов в треугольнике $ABC$

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 120^{\circ }=16+16-2\cdot 16\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=48,BC=4\sqrt{3}.$$

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$\frac{CD}{DA}=\frac{BC}{BA}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}.$$

Учитывая $CD+DA=AC=4$, находим

$$CD=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\frac{4\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=2\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)=6-2\sqrt{3}.$$

По пункту а) $DE=CD=6-2\sqrt{3}$ и $DH=\frac{CD}{2}=3-\sqrt{3}$. Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон:

$$S_{DEFH}=DE\cdot DH=\left(6-2\sqrt{3}\right)\left(3-\sqrt{3}\right)=2{\left(3-\sqrt{3}\right)}^2=2\left(12-6\sqrt{3}\right)=24-12\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $24-12\sqrt{3}$.