Окружность с центром O₁ касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD и не имеет… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Трапеции средняя 2024 развёрнутое

Окружность с центром $O_{1}$ касается оснований $B C$ и $A D$ и боковой стороны $A B$ трапеции $A B C D$ и не имеет общих точек с прямой $C D$ . Окружность с центром $O_{2}$ касается сторон $B C$ , $C D$ и $A D$ и не имеет общих точек с прямой $A B$ .

а) Докажите, что прямая $O_{1} O_{2}$ параллельна основанию трапеции $A B C D$ .

б) Найдите длину отрезка $O_{1} O_{2}$ , если $A B = 10$ , $B C = 15$ , $C D = 12$ , $A D = 19$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Первая окружность касается обоих оснований, поэтому её центр $O_{1}$ удалён от прямых $B C$ и $A D$ на одно и то же расстояние — радиус. Окружность, касающаяся двух параллельных прямых, лежит между ними, значит, $O_{1}$ находится посередине полосы между прямыми $B C$ и $A D$ : на прямой, которая параллельна основаниям и удалена от каждого на половину высоты $h$ трапеции. На этой прямой лежит средняя линия трапеции. Радиус первой окружности равен $\frac{h}{2}$ .

Рисунок к решению

Точно так же центр $O_{2}$ лежит на средней линии, а радиус второй окружности тоже равен $\frac{h}{2}$ . Точки $O_{1}$ и $O_{2}$ различны: иначе окружности совпали бы, а первая касается $A B$ , вторая же с $A B$ общих точек не имеет. Значит, прямая $O_{1} O_{2}$ — это прямая средней линии, и она параллельна основаниям $B C$ и $A D$ . Что и требовалось доказать.

б) Обозначим точки касания, как на рисунке: $P$ , $Q$ , $R$ — точки касания первой окружности со сторонами $A B$ , $B C$ , $A D$ ; $K$ , $L$ , $M$ — точки касания второй окружности со сторонами $B C$ , $C D$ , $A D$ .

Рисунок к решению

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому

$A P = A R = x, B P = B Q = y, C K = C L = z, D L = D M = t .$

Радиусы $O_{1} Q$ , $O_{1} R$ , $O_{2} K$ , $O_{2} M$ перпендикулярны основаниям, а $O_{1} O_{2}$ им параллельна по пункту а). Поэтому $O_{1} Q K O_{2}$ и $O_{1} R M O_{2}$ — прямоугольники и

$Q K = R M = O_{1} O_{2} = f .$

Окружности равны, первая касается $A B$ , а вторая с $A B$ не пересекается, поэтому центр $O_{2}$ удалён от прямой $A B$ больше, чем $O_{1}$ . Значит, на основаниях точки идут в порядке $B$ , $Q$ , $K$ , $C$ и $A$ , $R$ , $M$ , $D$ . Записываем длины четырёх сторон трапеции:

$⎩ ⎨ ⎧ x + y = 10, y + f + z = 15, z + t = 12, x + f + t = 19.$

Сложим первое уравнение с третьим, а второе — с четвёртым:

${x + y + z + t = 22, x + y + z + t + 2 f = 34.$

Вычтем из второго равенства первое: $2 f = 12$ , откуда $f = 6$ .

Проверим ответ другим способом. Обозначим теперь через $M$ и $N$ середины боковых сторон $A B$ и $C D$ (точки касания больше не нужны). По теореме о средней линии трапеции

$M N = \frac{B C + A D}{2} = \frac{15 + 19}{2} = 17.$

Окружности с центрами O₁ и O₂ на средней линии трапеции

Окружность с центром $O_{1}$ касается сторон угла $B A D$ , поэтому $A O_{1}$ — биссектриса этого угла. Прямые $M N$ и $A D$ параллельны, $A O_{1}$ — секущая, поэтому $∠ M O_{1} A = ∠ O_{1} A D = ∠ M A O_{1}$ . Треугольник $A M O_{1}$ равнобедренный: $M O_{1} = M A = \frac{A B}{2} = 5$ . Аналогично $D O_{2}$ — биссектриса угла $A D C$ и $N O_{2} = N D = \frac{C D}{2} = 6$ . Так как $5 + 6 < 17$ , точки идут в порядке $M$ , $O_{1}$ , $O_{2}$ , $N$ , и

$O_{1} O_{2} = M N - M O_{1} - N O_{2} = 17 - 5 - 6 = 6.$

Ответ: б) $6$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18