ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Основание треугольника — $AC$, боковые стороны $AB=BC$. Углы при основании равнобедренного треугольника острые, поэтому тупой угол — $\angle ABC$. Из-за этого высота $AH$ падает на продолжение стороны $CB$ за точку $B$, и точка $H$ лежит на луче $CB$.

Уточним положение точек $K$ и $M$. В прямоугольном треугольнике $AHC$ углы при вершинах $A$ и $C$ острые, поэтому основание $M$ высоты $HM$ лежит на отрезке $AC$. В прямоугольном треугольнике $AHB$ углы при $A$ и $B$ острые, поэтому основание $K$ перпендикуляра $HK$ лежит на отрезке $AB$.

Отрезок $HM$ — высота прямоугольного треугольника $AHC$, проведённая к гипотенузе. Из прямоугольных треугольников $AMH$ и $AHC$ с общим острым углом при вершине $A$

$$\angle AHM=90^{\circ }-\angle HAC=\angle HCA.$$

Так как $H$ лежит на луче $CB$, $\angle HCA=\angle BCA$, и значит, $\angle AHM=\angle BCA$.

Далее, $\angle AKH=\angle AMH=90^{\circ }$, поэтому точки $K$ и $M$ видят отрезок $AH$ под прямым углом и лежат на окружности с диаметром $AH$. Точки $H$ и $K$ лежат по одну сторону от прямой $AC$ — там же, где точка $B$. Поэтому вписанные углы $AKM$ и $AHM$ опираются на одну дугу $AM$ и равны:

$$\angle AKM=\angle AHM.$$

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle BAC=\angle BCA$. Так как $K$ лежит на $AB$, а $M$ — на $AC$, $\angle KAM=\angle BAC$. Получаем цепочку

$$\angle KAM=\angle BAC=\angle BCA=\angle AHM=\angle AKM.$$

В треугольнике $AKM$ углы при вершинах $A$ и $K$ равны, значит, он равнобедренный, и равны стороны, лежащие против этих углов: $MK=AM$. Что и требовалось доказать.

б) Здесь $AB=BC=13$, $AC=24$. Проведём высоту $BP$ треугольника $ABC$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой, поэтому $AP=PC=12$. По теореме Пифагора в треугольнике $BPC$

$$BP=\sqrt{B{C}^2-P{C}^2}=\sqrt{169-144}=5,\sin \angle BCA=\frac{BP}{BC}=\frac{5}{13}.$$

В прямоугольном треугольнике $AHC$ катет $AH$ лежит против угла $ACH=\angle BCA$:

$$AH=AC\cdot \sin \angle ACH=24\cdot \frac{5}{13}=\frac{120}{13}.$$

В прямоугольном треугольнике $AMH$ (угол $M$ прямой) катет $AM$ лежит против угла $AHM$, а по пункту а) $\angle AHM=\angle BCA$:

$$AM=AH\cdot \sin \angle AHM=\frac{120}{13}\cdot \frac{5}{13}=\frac{600}{169}.$$

По пункту а) $MK=AM=\frac{600}{169}$.

Ответ: б) $\frac{600}{169}$.