Две окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами 3 и 4 пересекаются в… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности сложная 2017 развёрнутое

Две окружности с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ и радиусами 3 и 4 пересекаются в точках $A$ и $B,$ причём точки $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат по разные стороны от прямой $A B .$ Через точку $A$ проведена прямая, вторично пересекающая эти окружности в точках $M$ и $K,$ причём точка $A$ лежит между точками $M$ и $K .$

а) Докажите, что треугольники $M B K$ и $O_{1} A O_{2}$ подобны.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $M K,$ если $M K = 7,$ а $O_{1} O_{2} = 5.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Треугольники $A O_{1} O_{2}$ и $B O_{1} O_{2}$ равны по трём сторонам: $O_{1} A = O_{1} B = 3$ и $O_{2} A = O_{2} B = 4$ как радиусы, сторона $O_{1} O_{2}$ общая. Поэтому

$∠ A O_{1} O_{2} = ∠ B O_{1} O_{2}, ∠ A O_{2} O_{1} = ∠ B O_{2} O_{1} .$

Точки $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат по разные стороны от прямой $A B$ , поэтому отрезок $O_{1} O_{2}$ пересекает отрезок $A B$ , и луч $O_{1} O_{2}$ проходит внутри угла $A O_{1} B$ , а луч $O_{2} O_{1}$ — внутри угла $A O_{2} B$ . Значит, линия центров делит эти углы пополам:

$∠ A O_{1} B = 2∠ A O_{1} O_{2}, ∠ A O_{2} B = 2∠ A O_{2} O_{1} .$

Выясним, где лежат точки $M$ и $K$ . Точка $A$ лежит на прямой $A B$ между $M$ и $K$ , поэтому $M$ и $K$ находятся по разные стороны от прямой $A B$ .

Вписанный угол $A M B$ первой окружности равен половине дуги $A B$ , не содержащей точку $M$ . Если $M$ лежит с той же стороны от $A B$ , что и центр $O_{1}$ , эта дуга меньшая, ей соответствует центральный угол $A O_{1} B$ , и $∠ A M B = \frac{1}{2} ∠ A O_{1} B = ∠ A O_{1} O_{2}$ . Если же $M$ лежит по другую сторону, то угол опирается на большую дугу и $∠ A M B = 18 0^{\circ} - ∠ A O_{1} O_{2}$ . Для точки $K$ на второй окружности — то же самое с центром $O_{2}$ .

Предположим, что $M$ лежит со стороны $O_{2}$ , а $K$ — со стороны $O_{1}$ . Тогда

$∠ A M B + ∠ A K B = 36 0^{\circ} - (∠ A O_{1} O_{2} + ∠ A O_{2} O_{1}) > 18 0^{\circ},$

так как $∠ A O_{1} O_{2} + ∠ A O_{2} O_{1} < 18 0^{\circ}$ — это два угла треугольника $A O_{1} O_{2}$ . Но точка $A$ лежит на отрезке $M K$ , поэтому $∠ A M B = ∠ K M B$ и $∠ A K B = ∠ M K B$ , а это два угла треугольника $M B K$ , и их сумма меньше $18 0^{\circ}$ . Противоречие.

Значит, $M$ лежит со стороны $O_{1}$ , а $K$ — со стороны $O_{2}$ , и

$∠ B M K = ∠ A M B = \frac{1}{2} ∠ A O_{1} B = ∠ A O_{1} O_{2}, ∠ B K M = ∠ A K B = \frac{1}{2} ∠ A O_{2} B = ∠ A O_{2} O_{1} .$

Треугольники $M B K$ и $O_{1} A O_{2}$ подобны по двум углам, причём вершине $M$ соответствует $O_{1}$ , вершине $K$ — вершина $O_{2}$ , вершине $B$ — вершина $A$ . Что и требовалось доказать.

б) Расстояние от точки $B$ до прямой $M K$ — это высота треугольника $M B K$ , проведённая из вершины $B$ . По пункту а) ей соответствует высота $A H$ подобного треугольника $O_{1} A O_{2}$ , проведённая из вершины $A$ . Найдём её.

Стороны треугольника $O_{1} A O_{2}$ равны $3$ , $4$ и $5$ , причём

$3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2} .$

По теореме, обратной теореме Пифагора, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине $A$ . Запишем его площадь двумя способами — через катеты и через гипотенузу с высотой:

$\frac{1}{2} \cdot O_{1} O_{2} \cdot A H = \frac{1}{2} \cdot A O_{1} \cdot A O_{2} \Rightarrow A H = \frac{A O _{1} \cdot A O _{2}}{O _{1} O _{2}} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} .$

Рисунок к решению

Стороны $M K$ и $O_{1} O_{2}$ соответственные (они лежат против соответственных вершин $B$ и $A$ ), поэтому коэффициент подобия треугольника $M B K$ к треугольнику $O_{1} A O_{2}$ равен

$k = \frac{M K}{O _{1} O _{2}} = \frac{7}{5} .$

В подобных треугольниках соответственные высоты относятся так же, как соответственные стороны. Значит, искомое расстояние

$h = k \cdot A H = \frac{7}{5} \cdot \frac{12}{5} = \frac{84}{25} .$

Ответ: б) $\frac{84}{25}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18