ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $BCE$ и $CDK$ (углы $C$ и $D$ квадрата прямые). В них $BC=CD$ как стороны квадрата и $CE=DK$ как половины равных сторон $CD$ и $AD$. Значит, треугольники равны по двум катетам, и их соответственные углы равны:

$$\angle CBE=\angle DCK.$$

Отрезки $BE$ и $CK$ — диагонали выпуклого четырёхугольника $BCEK$, поэтому они пересекаются, и точка $O$ лежит на обоих отрезках. Точка $K$ лежит на стороне $AD$, значит, луч $CK$ проходит внутри прямого угла $BCD$ и

$$\angle BCK=90^{\circ }-\angle DCK.$$

По теореме о сумме углов треугольника $BOC$

$$\angle BOC=180^{\circ }-\angle CBO-\angle BCO=180^{\circ }-\angle DCK-\left(90^{\circ }-\angle DCK\right)=90^{\circ }.$$

Точка $O$ лежит между $C$ и $K$, поэтому угол $BOK$ смежный с углом $BOC$:

$$\angle BOK=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }.$$

Итак, $\angle BAK=90^{\circ }$ (угол квадрата) и $\angle BOK=90^{\circ }$. Точки $A$ и $O$ видят отрезок $BK$ под прямым углом, значит, обе лежат на окружности с диаметром $BK$. Это и есть окружность, описанная около четырёхугольника $ABOK$. Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим прямоугольные треугольники $BAK$ и $BCE$. В них $AB=BC$ как стороны квадрата и $AK=CE$ как половины сторон квадрата. Треугольники равны по двум катетам, поэтому

$$\angle BKA=\angle BEC.$$

Прямые $AB$ и $CD$ параллельны, $BE$ — секущая, точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от неё. Значит, углы $ABE$ и $BEC$ накрест лежащие и равны:

$$\angle ABO=\angle ABE=\angle BEC.$$

По пункту а) точки $A$, $B$, $O$, $K$ лежат на одной окружности. Углы $BKA$ и $BOA$ вписаны в неё и опираются на одну дугу $AB$ (точки $K$ и $O$ лежат по одну сторону от прямой $AB$), поэтому они равны: $\angle BKA=\angle BOA$.

Собираем цепочку равенств:

$$\angle ABO=\angle BEC=\angle BKA=\angle BOA.$$

В треугольнике $ABO$ углы при вершинах $B$ и $O$ равны, значит, он равнобедренный, и равны противолежащие этим углам стороны:

$$AO=AB=1.$$

Ответ: б) $1$.