ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Центр окружности, вписанной в угол, удалён от обеих сторон угла на радиус, то есть равноудалён от них. Поэтому он лежит на биссектрисе угла: луч $NO$ — биссектриса угла $ANB$, и

$$\angle ANB=2\angle ANO.$$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $OA\perp NA$ и $OB\perp NB$, то есть $\angle OAN=\angle OBN=90^{\circ }$.

Точки $A$ и $B$ видят отрезок $NO$ под прямым углом, поэтому обе лежат на окружности с диаметром $NO$. Около четырёхугольника $ANBO$ можно описать окружность.

Точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $NO$ и лежат на разных полуокружностях, на которые диаметр $NO$ делит эту окружность. Поэтому точки идут по окружности в порядке $N$, $A$, $O$, $B$, и вписанные углы $ANO$ и $ABO$ опираются на одну и ту же дугу $AO$, не содержащую точек $N$ и $B$. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны:

$$\angle ANO=\angle ABO.$$

Центр $O$ — середина диаметра $BC$, поэтому луч $BO$ совпадает с лучом $BC$ и $\angle ABO=\angle ABC$. Получаем

$$\angle ANB=2\angle ANO=2\angle ABO=2\angle ABC.$$

Что и требовалось доказать.

б) Угол $BAC$ вписанный и опирается на диаметр $BC$, поэтому $\angle BAC=90^{\circ }$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$$\mathrm{tg}\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{10}{22}=\frac{5}{11}.$$

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: $NA=NB$. Значит, треугольник $ANB$ равнобедренный, а его биссектриса $NO$ является также высотой и медианой. Пусть $H$ — точка пересечения прямых $NO$ и $AB$. Тогда $NH\perp AB$, то есть искомое расстояние равно $NH$, и

$$AH=HB=\frac{AB}{2}=11.$$

По пункту а) $\angle ANH=\frac{1}{2}\angle ANB=\angle ABC$. В прямоугольном треугольнике $ANH$ (угол $H$ прямой)

$$\mathrm{tg}\angle ANH=\frac{AH}{NH}\Rightarrow NH=\frac{AH}{\mathrm{tg}\angle ABC}=11\cdot \frac{11}{5}=\frac{121}{5}=24,2.$$

Ответ: б) $24,2$.