В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя 2017 развёрнутое

В прямоугольном треугольнике $A B C$ проведена высота $C H$ из вершины прямого угла. В треугольники $A C H$ и $B C H$ вписаны окружности $ω_{1}$ и $ω_{2}$ с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно, касающиеся прямой $C H$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $A O_{1}$ и $C O_{2}$ перпендикулярны.

б) Найдите площадь четырёхугольника $M O_{1} N O_{2},$ если $A C = 20$ и $B C = 15.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: треугольник $A B C$ с прямым углом $C$ , высота $C H$ ; окружности $ω_{1}$ и $ω_{2}$ вписаны в треугольники $A C H$ и $B C H$ и касаются $C H$ в точках $M$ и $N$ .

а) Пусть прямые $A O_{1}$ и $C O_{2}$ пересекаются в точке $D$ , и $∠ C A H = 2 α$ .

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. Поэтому $A O_{1}$ — биссектриса угла $C A H$ и $∠ C A D = α$ .

В прямоугольном треугольнике $A C H$ : $∠ A C H = 9 0^{\circ} - 2 α$ . Так как $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ ,

$∠ B C H = 9 0^{\circ} - ∠ A C H = 2 α .$

$C O_{2}$ — биссектриса угла $B C H$ , поэтому $∠ H C D = α$ , и

$∠ A C D = ∠ A C H + ∠ H C D = 9 0^{\circ} - 2 α + α = 9 0^{\circ} - α .$

По сумме углов треугольника $A C D$

$∠ A D C = 18 0^{\circ} - α - (9 0^{\circ} - α) = 9 0^{\circ},$

то есть $A O_{1} ⊥ C O_{2}$ , что и требовалось доказать.

б) По теореме Пифагора

$A B = A C^{2} + B C^{2} = 400 + 225 = 25.$

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу, а каждый катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции:

$C H = \frac{A C \cdot B C}{A B} = \frac{20 \cdot 15}{25} = 12, A H = \frac{A C ^{2}}{A B} = \frac{400}{25} = 16, B H = A B - A H = 9.$

Найдём радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами $a$ , $b$ и гипотенузой $c$ . Вершина прямого угла, центр окружности и две точки касания на катетах образуют квадрат со стороной $r$ , поэтому отрезки касательных из вершины прямого угла равны $r$ . Отрезки касательных из двух других вершин равны $a - r$ и $b - r$ , и они в сумме дают гипотенузу: $(a - r) + (b - r) = c$ , откуда

$r = \frac{a + b - c}{2} .$

Для треугольников $A C H$ и $B C H$ (прямой угол $H$ ):

$M O_{1} = r_{1} = \frac{A H + C H - A C}{2} = \frac{16 + 12 - 20}{2} = 4, N O_{2} = r_{2} = \frac{B H + C H - B C}{2} = \frac{9 + 12 - 15}{2} = 3.$

По доказанному отрезки касательных из вершины $H$ равны радиусам: $H M = r_{1} = 4$ , $H N = r_{2} = 3$ . Точки $M$ и $N$ лежат на отрезке $H C$ , поэтому

$M N = H M - H N = 4 - 3 = 1.$

Радиусы $O_{1} M$ и $O_{2} N$ перпендикулярны прямой $C H$ , а точки $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат по разные стороны от неё (в треугольниках $A C H$ и $B C H$ ). Диагональ $M N$ делит четырёхугольник $M O_{1} N O_{2}$ на треугольники $O_{1} M N$ и $O_{2} M N$ с общим основанием $M N$ и высотами $O_{1} M$ и $O_{2} N$ :

$S_{M O_{1} N O_{2}} = \frac{1}{2} \cdot M N \cdot O_{1} M + \frac{1}{2} \cdot M N \cdot O_{2} N = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (4 + 3) = 3, 5.$

Ответ: б) $3, 5$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18