В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно AM, пересекает сторону AC в точке… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники средняя 2025 развёрнутое

В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $A M .$ Прямая, проходящая через вершину $B$ перпендикулярно $A M,$ пересекает сторону $A C$ в точке $N .$ При этом $A B = 12,$ $B C = 7,$ $A C = 16.$

а) Докажите, что биссектриса угла $C$ делит отрезок $M N$ пополам.

б) Пусть $P$ — точка пересечения биссектрис треугольника $A B C .$ Найдите отношение $A P : P N .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: треугольник $A B C$ , биссектриса $A M$ ( $M$ на $B C$ ), прямая $B N ⊥ A M$ ( $N$ на $A C$ ), биссектриса угла $C$ пересекает $M N$ в точке $O$ .

а) Достаточно доказать, что $M C = N C$ : тогда треугольник $M C N$ равнобедренный, и его биссектриса $C O$ , проведённая к основанию, является медианой, то есть $O M = O N$ .

В треугольнике $A B N$ прямая $A M$ содержит биссектрису угла $B A N$ (это угол $B A C$ , так как $N$ лежит на $A C$ ) и перпендикулярна стороне $B N$ . Если биссектриса треугольника совпадает с высотой, он равнобедренный, поэтому

$A N = A B = 12, N C = A C - A N = 16 - 12 = 4.$

По свойству биссектрисы $A M$ она делит сторону $B C$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{B M}{M C} = \frac{A B}{A C} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} .$

Пусть $B M = 3 t$ , $M C = 4 t$ . Так как $B M + M C = B C = 7$ , получаем $7 t = 7$ , $t = 1$ и $M C = 4$ .

Итак, $M C = N C = 4$ , треугольник $M C N$ равнобедренный, и биссектриса угла $C$ делит $M N$ пополам, что и требовалось доказать.

б) Точка $P$ пересечения биссектрис лежит на $A M$ и на $C O$ . В равнобедренном треугольнике $M C N$ биссектриса $C O$ является и высотой, и медианой, поэтому прямая $C O$ — серединный перпендикуляр к отрезку $M N$ . Точка $P$ лежит на нём и равноудалена от $M$ и $N$ :

$P N = P M .$

Значит, $A P : P N = A P : P M$ . В треугольнике $A M C$ отрезок $C P$ — биссектриса угла $A C M$ . По свойству биссектрисы

$\frac{A P}{P M} = \frac{A C}{C M} = \frac{16}{4} = 4.$

Ответ: б) $4 : 1$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18