Две окружности касаются внутренним образом в точке M, причём меньшая… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности сложная 2015 развёрнутое

Две окружности касаются внутренним образом в точке $M,$ причём меньшая из окружностей проходит через центр большей окружности. Хорда $P Q$ большей окружности касается меньшей в точке $K;$ $S$ и $T$ — точки пересечения меньшей окружности с $M P$ и $M Q$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $S T$ и $P Q$ параллельны.

б) Пусть $L$ — точка пересечения $M K$ и $S T .$ Найдите $M L,$ если радиус большей окружности равен 5, а $P Q = 6.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок. Пусть $O_{1}$ — центр большей окружности (радиус $R$ ), $O_{2}$ — центр меньшей (радиус $r$ ).

а) Центры касающихся окружностей и точка касания лежат на одной прямой, причём при внутреннем касании $O_{2}$ лежит на отрезке $M O_{1}$ . По условию $O_{1}$ лежит на меньшей окружности, точка $M$ — тоже. Значит, хорда $M O_{1}$ меньшей окружности проходит через её центр, то есть $M O_{1}$ — диаметр меньшей окружности, и $r = \frac{R}{2}$ .

Точка $S$ лежит на меньшей окружности, поэтому вписанный угол $M S O_{1}$ , опирающийся на диаметр, прямой: $O_{1} S ⊥ M P$ . Отрезок $M P$ — хорда большей окружности, $O_{1}$ — её центр. Треугольник $O_{1} M P$ равнобедренный ( $O_{1} M = O_{1} P = R$ ), его высота $O_{1} S$ является медианой, поэтому $S$ — середина $M P$ .

Точно так же $∠ M T O_{1} = 9 0^{\circ}$ и $T$ — середина $M Q$ .

Значит, $S T$ — средняя линия треугольника $M P Q$ , и $S T ∥ P Q$ , что и требовалось доказать.

б) По условию $R = 5$ , тогда $r = 2, 5$ и $O_{1} O_{2} = R - r = 2, 5$ .

Опустим перпендикуляр $O_{1} K^{'}$ на $P Q$ . Перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам, поэтому $P K^{'} = K^{'} Q = 3$ , и по теореме Пифагора в треугольнике $O_{1} K^{'} P$

$O_{1} K^{'} = O_{1} P^{2} - P K^{'2} = 25 - 9 = 4.$

Радиус $O_{2} K$ , проведённый в точку касания, перпендикулярен $P Q$ , $O_{2} K = 2, 5$ . Меньшая окружность лежит по одну сторону от своей касательной $P Q$ , поэтому её точки $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат по одну сторону от $P Q$ . Значит, $O_{2} O_{1} K^{'} K$ — прямоугольная трапеция ( $O_{1} K^{'} ∥ O_{2} K$ ).

Опустим перпендикуляр $O_{2} H$ на $O_{1} K^{'}$ . Четырёхугольник $O_{2} H K^{'} K$ — прямоугольник, поэтому $H K^{'} = O_{2} K = 2, 5$ и $O_{2} H = K K^{'}$ . Тогда $O_{1} H = O_{1} K^{'} - H K^{'} = 4 - 2, 5 = 1, 5$ , и по теореме Пифагора в треугольнике $O_{1} H O_{2}$

$K K^{'} = O_{2} H = O_{1} O_{2}^{2} - O_{1} H^{2} = 6, 25 - 2, 25 = 2.$

Точка $K$ отстоит от середины $K^{'}$ хорды на $2$ . Обозначим концы хорды так, чтобы $K$ лежала ближе к $Q$ (от выбора обозначений ответ не зависит):

$P K = P K^{'} + K^{'} K = 3 + 2 = 5, K Q = K^{'} Q - K^{'} K = 3 - 2 = 1.$

По пункту а) $S T$ — средняя линия треугольника $M P Q$ . Прямая, проходящая через середину стороны $M P$ параллельно $P Q$ , по теореме Фалеса делит пополам любой отрезок от $M$ до точки прямой $P Q$ . Поэтому $L$ — середина $M K$ : $M L = L K$ . Отрезки $S L$ и $L T$ — средние линии треугольников $M P K$ и $M K Q$ :

$S L = \frac{P K}{2} = \frac{5}{2}, L T = \frac{K Q}{2} = \frac{1}{2} .$

Точки $M$ , $K$ , $S$ , $T$ лежат на меньшей окружности, и хорды $M K$ и $S T$ пересекаются в точке $L$ . По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд

$M L \cdot L K = S L \cdot L T = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4} .$

Так как $M L = L K$ , получаем $M L^{2} = \frac{5}{4}$ , откуда

$M L = \frac{5}{2} .$

Ответ: б) $\frac{5}{2}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18