ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

а) Проведём диагональ $AC$. Хорды $AB$ и $CD$ равны, поэтому стягиваемые ими дуги $\stackrel{⌣}{\mathrm{AB}}$ и $\stackrel{⌣}{\mathrm{CD}}$, не содержащие других вершин, либо равны, либо в сумме дают $360^{\circ }$. Второе невозможно: на окружности есть ещё дуги $\stackrel{⌣}{\mathrm{BC}}$ и $\stackrel{⌣}{\mathrm{DA}}$. Значит, $\stackrel{⌣}{\mathrm{AB}}=\stackrel{⌣}{\mathrm{CD}}$.

Вписанный угол $BCA$ опирается на дугу $AB$, а вписанный угол $CAD$ — на дугу $CD$. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому

$$\angle BCA=\angle CAD.$$

Это накрест лежащие углы при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. По признаку параллельности прямых $BC\parallel AD$, что и требовалось доказать.

б) Обозначим центр окружности $O$.

В треугольнике $ABC$ стороны $AB=BC$, поэтому он равнобедренный и $\angle BAC=\angle BCA=\alpha$. Треугольник $ABC$ вписан в ту же окружность радиуса $R=8$. По теореме синусов

$$\frac{AB}{\sin \angle BCA}=2R\Rightarrow \frac{12}{\sin \alpha }=16\Rightarrow \sin \alpha =\frac{3}{4}.$$

По пункту а) $\angle CAD=\angle BCA=\alpha$, поэтому

$$\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=2\alpha ,\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\cdot \frac{9}{16}=-\frac{1}{8}.$$

Косинус отрицателен, значит, угол $BAD$ тупой.

Найдём угол $ADC$. Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^{\circ }$: $\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ }$. Углы $BCD$ и $ADC$ — односторонние при $BC\parallel AD$, поэтому $\angle BCD+\angle ADC=180^{\circ }$. Отсюда $\angle ADC=\angle BAD=2\alpha$ — тоже тупой.

Опустим перпендикуляры $BK$ и $CH$ на прямую $AD$. Так как углы $A$ и $D$ четырёхугольника тупые, точка $K$ лежит на продолжении $DA$ за точку $A$, а точка $H$ — на продолжении $AD$ за точку $D$.

Угол $CDH$ смежный с углом $ADC$:

$$\angle CDH=180^{\circ }-2\alpha ,\cos \angle CDH=-\cos 2\alpha =\frac{1}{8}.$$

Из прямоугольного треугольника $CHD$

$$DH=CD\cdot \cos \angle CDH=12\cdot \frac{1}{8}=\frac{3}{2}.$$

Аналогично угол $BAK$ смежный с углом $BAD$, и из прямоугольного треугольника $BKA$ получаем $AK=AB\cdot \cos (180^{\circ }-2\alpha )=\frac{3}{2}$.

Четырёхугольник $KBCH$ — прямоугольник, поэтому $KH=BC=12$. Тогда

$$AD=KH-AK-DH=12-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=9.$$

Проверим другим способом. В треугольнике $ACD$ углы $\angle CAD=\alpha$, $\angle ADC=2\alpha$, значит, $\angle ACD=180^{\circ }-3\alpha$. По теореме синусов

$$AD=2R\sin (180^{\circ }-3\alpha )=16\sin 3\alpha =16\left(3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha \right)=16\left(\frac{9}{4}-\frac{27}{16}\right)=36-27=9.$$

Ответ: б) $9$.