ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок. Пусть $O_1$ — центр окружности, касающейся сторон $AB$, $BC$, $AD$, а $O_2$ — центр окружности, касающейся сторон $BC$, $CD$, $AD$. Вторая окружность касается $CD$ в точке $P$, $AD$ — в точке $N$, $BC$ — в точке $N_1$; первая касается $AD$ в точке $M$, $BC$ — в точке $M_1$.

а) Обе окружности касаются параллельных прямых $AD$ и $BC$, поэтому диаметр каждой равен высоте трапеции. Значит, их радиусы равны; обозначим их $r$.

Окружность с центром $O_2$ вписана в угол $ADC$ и в угол $BCD$, а центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе. Поэтому $D{O}_2$ и $C{O}_2$ — биссектрисы углов $D$ и $C$ трапеции:

$$\angle O_{2}DC=\frac{1}{2}\angle ADC,\angle O_{2}CD=\frac{1}{2}\angle BCD.$$

Углы $ADC$ и $BCD$ — односторонние при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $CD$, их сумма равна $180^{\circ }$. Значит,

$$\angle O_{2}DC+\angle O_{2}CD=90^{\circ },\angle C{O}_{2}D=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }.$$

Радиус $O_{2}P$, проведённый в точку касания, перпендикулярен $CD$, то есть $O_{2}P$ — высота прямоугольного треугольника $C{O}_{2}D$, проведённая к гипотенузе. Квадрат такой высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$$r^2=O_2{P}^2=CP\cdot PD.$$

Точка $P$ делит $CD$ в отношении $1:9$, поэтому один из отрезков равен $\frac{CD}{10}$, другой — $\frac{9CD}{10}$. Тогда

$$r^2=\frac{CD}{10}\cdot \frac{9CD}{10}=\frac{9C{D}^2}{100},r=\frac{3CD}{10}=0,3\cdot CD,$$

что и требовалось доказать.

б) Трапеция равнобедренная, поэтому $CD=AB=20$ и $r=0,3\cdot 20=6$. Отрезки $CP$ и $PD$ равны $2$ и $18$ в каком-то порядке.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $DN=DP$ и $C{N}_1=CP$.

Углы при основании равнобедренной трапеции равны: $\angle A=\angle D$. Отрезки $A{O}_1$ и $D{O}_2$ — биссектрисы этих углов, поэтому $\angle O_{1}AM=\angle O_{2}DN$. Прямоугольные треугольники $O_{1}AM$ и $O_{2}DN$ равны по катету ($O_{1}M=O_{2}N=r$) и острому углу, значит, $AM=DN=DP$. Аналогично $B{M}_1=C{N}_1=CP$.

Окружности касаются внешним образом, поэтому расстояние между центрами равно сумме радиусов: $O_1{O}_2=2r=12$. Радиусы $O_{1}M$ и $O_{2}N$ перпендикулярны $AD$ и равны, поэтому $O_1{O}_{2}NM$ — прямоугольник, и $MN=O_1{O}_2=12$. Так же $M_1{N}_1=12$. Тогда

$$AD=AM+MN+ND=2DP+12,BC=B{M}_1+M_1{N}_1+N_{1}C=2CP+12.$$

По условию $AD>BC$, поэтому $DP>CP$, то есть $DP=18$, $CP=2$. Получаем

$$AD=2\cdot 18+12=48.$$

Проведём высоту $BH$ трапеции. Высота равна диаметру окружностей: $BH=2r=12$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ по теореме Пифагора

$$AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16,\sin \angle BAD=\frac{BH}{AB}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}.$$

Тогда $HD=AD-AH=48-16=32$, и из прямоугольного треугольника $BHD$

$$BD=\sqrt{B{H}^2+H{D}^2}=\sqrt{12^2+32^2}=\sqrt{144+1024}=\sqrt{1168}=4\sqrt{73}.$$

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность, и она же описана около треугольника $ABD$. По теореме синусов для этого треугольника

$$\frac{BD}{\sin \angle BAD}=2R\Rightarrow R=\frac{BD}{2\sin \angle BAD}=\frac{4\sqrt{73}}{2\cdot \frac{3}{5}}=\frac{10\sqrt{73}}{3}.$$

Ответ: б) $\frac{10\sqrt{73}}{3}$.