ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Задача из открытого банка ФИПИ с подробным решением. Реши на бумаге и сверься с разбором.

Как решать №18

3 балла на ЕГЭ 2 часть экзамена

№18 Окружности средняя развёрнутое

Пятиугольник $A B C D E$ вписан в окружность. Известно, что $A B = C D = 3$ , $B C = D E = 4$ .

а) Докажите, что $A C = C E$ .

б) Найдите длину диагонали $B E$ , если $A D = 6$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Вписанный пятиугольник ABCDE

а) Вершины пятиугольника делят окружность на пять дуг $A B ⌣$ , $B C ⌣$ , $C D ⌣$ , $D E ⌣$ , $E A ⌣$ (каждая не содержит других вершин). Хорды равной длины стягивают дуги, которые либо равны, либо в сумме дают $36 0^{\circ}$ . Дуги $A B ⌣$ и $C D ⌣$ не могут в сумме дать $36 0^{\circ}$ , ведь на окружности есть и другие дуги. Поэтому из $A B = C D$ и $B C = D E$ следует

$A B ⌣ = C D ⌣, B C ⌣ = D E ⌣ .$

Хорда $A C$ стягивает дугу $A B C$ , а хорда $C E$ — дугу $C D E$ . Эти дуги равны:

$A B C ⌣ = A B ⌣ + B C ⌣ = C D ⌣ + D E ⌣ = C D E ⌣ .$

Равные дуги стягиваются равными хордами, поэтому $A C = C E$ , что и требовалось доказать.

б) Хорда $B D$ стягивает дугу $B C D$ , и

$B C D ⌣ = B C ⌣ + C D ⌣ = B C ⌣ + A B ⌣ = A B C ⌣,$

поэтому $B D = A C$ .

Четырёхугольник $A B C D$ вписан в окружность. По теореме Птолемея произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

$A C \cdot B D = A B \cdot C D + B C \cdot A D .$

Подставим $B D = A C$ и данные длины:

$A C^{2} = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 6 = 33, A C = 33 .$

Тогда $B D = 33$ , и по пункту а) $C E = A C = 33$ .

Четырёхугольник $B C D E$ тоже вписан в окружность. Его диагонали $B D$ и $C E$ , пары противоположных сторон — $B C$ , $D E$ и $C D$ , $E B$ . По теореме Птолемея

$B D \cdot C E = B C \cdot D E + C D \cdot B E,$

$33 \cdot 33 = 4 \cdot 4 + 3 \cdot B E \Leftrightarrow 33 = 16 + 3 B E \Leftrightarrow B E = \frac{17}{3} .$

Ответ: б) $\frac{17}{3}$ .

Ещё задания №18

18-003P, сложная

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A,$ причем меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $B C$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $M,$ отличной от точки $A .$ Лучи $A O$ и $A M$ вторично пересекают большую окружность в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точка $C$ лежит на дуге $A Q$ большей окружности, не содержащей точку $P .$

а) Докажите, что прямые $P Q$ и $B C$ параллельны.

б) Известно, что $sin ∠ A O C = \frac{1}{4} 15,$ прямые $P C$ и $A Q$ пересекаются в точке $K .$ Найдите $Q K : K A .$

18-04FY, средняя

Дан равнобедренный треугольник $A B C .$ Окружность с центром $O$ на основании $B C$ касается боковых сторон $A B$ и $A C .$ Касательная к этой окружности пересекает стороны $A B$ и $A C$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что отрезки $O M$ и $O N$ разбивают четырёхугольник $B M N C$ на три подобных треугольника.

б) Найдите длину отрезка $A M,$ если треугольник $A B C$ равносторонний, $A B = 20$ и $A N : N C = 2 : 3.$

18-079B, средняя

В тупоугольном треугольнике $A B C$ угол $C$ тупой. Точка $P$ лежит вне треугольника $A B C$ . $B P$ и $C P$ — перпендикуляры к сторонам $A B$ и $A C$ соответственно, причём $C P$ пересекает сторону $A B$ . Высота $C H$ треугольника $A C P$ пересекает отрезок $A B$ в точке $K$ .

а) Докажите, что острые углы $A B C$ и $A C H$ равны.

б) Найдите длину стороны $A C$ , если $A K = 6$ , $B K = 18$ .

Как решать №18 Решать дальше №18