В треугольнике с тупым углом проведена высота Окружность с центром и радиусом второй раз пересекает стороны и в точках и соответственно, — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что
б) Найдите длину отрезка если и
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Сделаем рисунок. Обозначим , . Угол тупой, поэтому углы и острые, и основание высоты лежит на стороне . Диаметр лежит на прямой , точка — на продолжении за точку , .
а) Точка лежит на окружности, а — её диаметр. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому . В прямоугольном треугольнике
Луч совпадает с лучом , а луч — с лучом , поэтому . Из прямоугольного треугольника : . Значит,
Точно так же , и из прямоугольных треугольников и
Прямая разделяет точки и (точка лежит между ними), поэтому точки и лежат по разные стороны от прямой , и луч проходит внутри угла . Следовательно,
что и требовалось доказать.
б) Пусть , , , . Тогда
Точки , , , лежат на одной окружности. Точка лежит на луче , а точка — на стороне , поэтому находится по ту же сторону от прямой , что и , а значит, и . Вписанные углы и опираются на одну дугу , поэтому, учитывая пункт а),
У треугольников и общий угол и . По двум углам они подобны, причём соответствует , а — вершине :
Подставим длины:
Тогда коэффициент подобия
и
Ответ: б) .