Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Трапеции сложная 2014 развёрнутое

Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.

a) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне.

б) Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит её на отрезки, равные 2 и 50.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок. Пусть $A B C D$ — прямоугольная трапеция с основаниями $A D > B C$ и прямыми углами $A$ и $B$ , тогда $C D$ — большая боковая сторона. Первая окружность с центром $O_{1}$ касается $A D$ в точке $M$ , $B C$ — в точке $K$ , $C D$ — в точке $L$ . Вторая окружность с центром $O_{2}$ касается $C D$ в точке $Q$ , продолжения $A D$ за точку $D$ — в точке $P$ , продолжения $B C$ за точку $C$ — в точке $R$ .

а) Каждая окружность касается двух параллельных прямых $A D$ и $B C$ , поэтому её диаметр равен расстоянию между этими прямыми. Значит, радиусы окружностей равны; обозначим их $r$ .

Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_{1} M ⊥ A D$ , $O_{2} P ⊥ A D$ , и $O_{1} M = O_{2} P = r$ . Отрезки $O_{1} M$ и $O_{2} P$ равны, параллельны и лежат по одну сторону от $A D$ , поэтому $O_{1} O_{2} P M$ — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник. Следовательно,

$O_{1} O_{2} = M P = M D + D P .$

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе. Поэтому $D O_{1}$ — биссектриса угла $A D C$ , а $C O_{2}$ — биссектриса угла $D C R$ . Углы $A D C$ и $D C R$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $A D$ и $B R$ и секущей $C D$ . Значит, равны и их половины:

$∠ O_{1} D M = ∠ O_{2} C R .$

Прямоугольные треугольники $O_{1} M D$ и $O_{2} R C$ равны по катету ( $O_{1} M = O_{2} R = r$ ) и противолежащему острому углу. Отсюда $M D = R C$ .

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: $R C = C Q$ и $D P = D Q$ (касательные ко второй окружности из точек $C$ и $D$ ). Точка $Q$ лежит на отрезке $C D$ , поэтому

$O_{1} O_{2} = M D + D P = C Q + Q D = C D,$

что и требовалось доказать.

б) Пусть первая окружность касается $A B$ в точке $E$ . Четырёхугольники $A E O_{1} M$ и $B E O_{1} K$ — квадраты (три прямых угла и равные соседние стороны $r$ ), поэтому $A M = B K = r$ . По равенству отрезков касательных $C K = C L$ и $D M = D L$ . Тогда

$A D = r + D L, B C = r + C L .$

Так как $A D > B C$ , то $D L > C L$ , значит, $C L = 2$ , $D L = 50$ , $C D = 52$ .

Опустим перпендикуляр $C H$ на $A D$ . Четырёхугольник $A B C H$ — прямоугольник, поэтому $A H = B C = r + 2$ и

$H D = A D - A H = (r + 50) - (r + 2) = 48.$

По теореме Пифагора в треугольнике $C H D$

$C H = C D^{2} - H D^{2} = 5 2^{2} - 4 8^{2} = (52 - 48) (52 + 48) = 400 = 20.$

Высота трапеции равна диаметру окружностей, поэтому $r = \frac{20}{2} = 10$ .

Из пункта а) $C R = M D = D L = 50$ , тогда $C Q = C R = 50$ , $D Q = C D - C Q = 2$ и $D P = D Q = 2$ .

Найдём расстояние от вершины $A$ до $O_{2}$ :

$A P = A M + M D + D P = 10 + 50 + 2 = 62.$

Треугольник $A O_{2} P$ прямоугольный ( $O_{2} P ⊥ A D$ ), $O_{2} P = 10$ . По теореме Пифагора

$A O_{2} = A P^{2} + O_{2} P^{2} = 6 2^{2} + 1 0^{2} = 3844 + 100 = 3944 = 2986 .$

Для вершины $B$ получается то же самое: $B R = B K + K C + C R = 10 + 2 + 50 = 62$ , $O_{2} R = 10$ , и $B O_{2} = 6 2^{2} + 1 0^{2} = 2986$ . Значит, ответ не зависит от выбора вершины прямого угла.

Ответ: б) $2986$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18