ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок. В треугольнике $ABC$ прямой угол $C$, $CH$ — высота. Биссектриса $AM$ треугольника $ACH$ ($M$ на $CH$) и биссектриса $CN$ треугольника $BCH$ ($N$ на $BH$) пересекаются в точке $K$; прямая $AM$ пересекает катет $BC$ в точке $T$.

а) Пусть $\angle ABC=\beta$. Тогда $\angle CAB=90^{\circ }-\beta$ по сумме острых углов прямоугольного треугольника $ABC$.

В прямоугольном треугольнике $ACH$: $\angle ACH=90^{\circ }-\angle CAH=90^{\circ }-(90^{\circ }-\beta )=\beta$. Значит,

$$\angle BCH=90^{\circ }-\angle ACH=90^{\circ }-\beta =\angle CAH.$$

Биссектрисы делят равные углы $CAH$ и $BCH$ пополам, поэтому

$$\angle CAM=\angle MAH=\angle HCN=\angle NCB=\frac{90^{\circ }-\beta }{2}.$$

Рассмотрим треугольник $AKC$. Луч $CH$ лежит внутри угла $ACN$, поэтому

$$\angle KAC=\angle MAC=\frac{90^{\circ }-\beta }{2},\angle KCA=\angle ACH+\angle HCN=\beta +\frac{90^{\circ }-\beta }{2}.$$

Сумма этих углов

$$\angle KAC+\angle KCA=\frac{90^{\circ }-\beta }{2}+\beta +\frac{90^{\circ }-\beta }{2}=90^{\circ }.$$

По сумме углов треугольника $\angle AKC=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$, то есть $AM\perp CN$, что и требовалось доказать.

б) Так как $\angle CAM=\angle MAH$ и луч $AH$ совпадает с лучом $AB$, прямая $AT$ — биссектриса угла $BAC$ треугольника $ABC$.

Рассмотрим треугольник $ACN$ (точка $N$ лежит на стороне $AB$). В нём $AK$ — биссектриса угла $CAN$ и по пункту а) высота. Если биссектриса треугольника совпадает с высотой, треугольник равнобедренный, и эта биссектриса — ещё и медиана. Значит, $CK=KN$ и прямая $AK$ — серединный перпендикуляр к отрезку $CN$. Точка $M$ лежит на этой прямой, поэтому она равноудалена от $C$ и $N$:

$$MN=CM.$$

Рассмотрим треугольник $MCT$. В нём $CK$ — биссектриса угла $MCT$, так как $\angle MCK=\angle HCN=\angle NCB=\angle KCT$, и высота, так как $CK\perp AT$. Значит, треугольник $MCT$ тоже равнобедренный:

$$CM=CT.$$

Итак, $MN=CM=CT$, и осталось найти $CT$.

По свойству биссектрисы $AT$ треугольника $ABC$ она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$\frac{CT}{TB}=\frac{AC}{AB}.$$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC$ лежит против угла $B$, поэтому $\frac{AC}{AB}=\sin \angle ABC=\frac{4}{9}$. Тогда $CT=4t$, $TB=9t$, и

$$CT+TB=BC\Rightarrow 13t=26\Rightarrow t=2,CT=8.$$

Следовательно, $MN=CT=8$.

Ответ: б) $8$.