В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники сложная 2016 развёрнутое

В прямоугольном треугольнике $A B C$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $A B$ и катета $B C$ соответственно. Биссектриса угла $B A C$ пересекает прямую $M N$ в точке $L .$

a) Докажите, что треугольники $A M L$ и $B L C$ подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $cos ∠ B A C = \frac{7}{25} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок. В треугольнике $A B C$ гипотенуза $A B$ , значит, $∠ C = 9 0^{\circ}$ . Пусть $∠ B A L = ∠ L A C = α$ , тогда $∠ B A C = 2 α$ . Биссектриса $A L$ пересекает катет $B C$ в точке $H$ , точка $L$ лежит на прямой $M N$ по другую сторону от $B C$ , чем вершина $A$ .

а) Точки $M$ и $N$ — середины сторон $A B$ и $B C$ , поэтому $M N$ — средняя линия треугольника $A B C$ и $M N ∥ A C$ .

Прямые $M L$ и $A C$ параллельны, $A L$ — секущая, точки $M$ и $C$ лежат по разные стороны от неё. Накрест лежащие углы равны:

$∠ M L A = ∠ L A C = α = ∠ M A L .$

В треугольнике $A M L$ углы при стороне $A L$ равны, поэтому он равнобедренный:

$M L = A M = M B = \frac{A B}{2} .$

В треугольнике $A B L$ медиана $L M$ равна половине стороны $A B$ . Значит, точки $A$ , $B$ , $L$ лежат на окружности с центром $M$ и диаметром $A B$ , и вписанный угол $A L B$ , опирающийся на диаметр, прямой: $∠ A L B = 9 0^{\circ}$ .

Треугольники $A H C$ и $B H L$ прямоугольные ( $∠ A C H = ∠ B L H = 9 0^{\circ}$ ), и у них равны вертикальные углы $A H C$ и $B H L$ . Значит, равны и их третьи углы:

$∠ L B C = ∠ L B H = ∠ H A C = α .$

Далее, $M L ∥ A C$ и $A C ⊥ B C$ , поэтому $L N ⊥ B C$ . Прямая $L N$ проходит через середину $N$ отрезка $B C$ перпендикулярно ему, то есть это серединный перпендикуляр к $B C$ . Любая его точка равноудалена от концов отрезка, поэтому $L B = L C$ . Треугольник $B L C$ равнобедренный, и

$∠ L C B = ∠ L B C = α .$

В треугольниках $A M L$ и $B L C$

$∠ M A L = ∠ L B C = α, ∠ M L A = ∠ L C B = α,$

значит, они подобны по двум углам (вершина $A$ соответствует $B$ , $M$ — вершине $L$ , $L$ — вершине $C$ ), что и требовалось доказать.

б) По условию $cos ∠ B A C = cos 2 α = \frac{7}{25}$ . По формуле косинуса двойного угла $cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α$ :

$1 - 2 sin^{2} α = \frac{7}{25} \Rightarrow sin^{2} α = \frac{9}{25} \Rightarrow sin α = \frac{3}{5}$

(угол $α$ острый, его синус положителен).

В подобных треугольниках $A M L$ и $B L C$ стороне $A M$ соответствует сторона $B L$ , поэтому коэффициент подобия $k = \frac{A M}{B L}$ .

В прямоугольном треугольнике $A B L$ катет $B L$ лежит против угла $B A L = α$ :

$B L = A B \cdot sin α = 2 A M \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5} A M .$

Значит, $k = \frac{A M}{B L} = \frac{5}{6}$ . Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$\frac{S _{A M L}}{S _{B L C}} = k^{2} = (\frac{5}{6})^{2} = \frac{25}{36} .$

Ответ: б) $\frac{25}{36}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18