Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя 2024 развёрнутое

Окружность проходит через вершину $C$ прямоугольника $A B C D$ и касается его сторон $A B$ и $A D$ в точках $K$ и $P$ соответственно. К хорде $K P$ проведён перпендикуляр $C H$ .

а) Докажите, что треугольники $C B K$ и $C H P$ подобны.

б) Найдите площадь прямоугольника $A B C D$ , если $C H = 7$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Окружность, касающаяся AB и AD, перпендикуляр CH к хорде KP

а) Угол $B K C$ образован касательной $K B$ и хордой $K C$ . По теореме об угле между касательной и хордой он равен половине дуги $K C$ , заключённой внутри этого угла, то есть равен вписанному углу $K P C$ , опирающемуся на ту же дугу. Обозначим

$∠ B K C = ∠ K P C = α .$

Рисунок к решению

Точно так же угол $D P C$ между касательной $P D$ и хордой $P C$ равен вписанному углу $P K C$ . Углы $B K C$ и $D P C$ — острые углы прямоугольных треугольников $C B K$ и $C D P$ , поэтому оба угла $C P K$ и $C K P$ треугольника $C K P$ острые. Значит, основание $H$ перпендикуляра, опущенного из $C$ на $K P$ , лежит на отрезке $K P$ , и $∠ H P C = ∠ K P C = α$ .

Прямоугольные треугольники $C B K$ ( $∠ B = 9 0^{\circ}$ — угол прямоугольника) и $C H P$ ( $∠ H = 9 0^{\circ}$ ) имеют равные острые углы $∠ B K C = ∠ H P C = α$ . Значит, они подобны по двум углам, причём вершине $B$ соответствует $H$ , вершине $K$ — $P$ . Что и требовалось доказать.

б) Отрезки касательных, проведённых из точки $A$ , равны: $A K = A P$ . Угол $A$ прямоугольника прямой, поэтому треугольник $A K P$ прямоугольный и равнобедренный:

$∠ A K P = ∠ A P K = 4 5^{\circ} .$

Рисунок к решению

Точка $K$ лежит на отрезке $A B$ , поэтому углы $A K P$ , $P K C$ и $C K B$ вместе составляют развёрнутый угол. Учитывая, что $H$ лежит на отрезке $K P$ :

$∠ C K H = ∠ C K P = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - α = 13 5^{\circ} - α .$

Точка $P$ лежит на отрезке $A D$ , поэтому углы $A P K$ , $K P C$ и $C P D$ тоже составляют развёрнутый угол:

$∠ C P D = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - α = 13 5^{\circ} - α .$

Итак, у прямоугольных треугольников $C H K$ ( $∠ H = 9 0^{\circ}$ ) и $C D P$ ( $∠ D = 9 0^{\circ}$ ) равны острые углы $∠ C K H = ∠ C P D$ , поэтому они подобны, причём вершине $H$ соответствует $D$ , вершине $K$ — $P$ :

$\frac{C H}{C D} = \frac{C K}{C P} .$

Из подобия треугольников $C B K$ и $C H P$ (пункт а) имеем

$\frac{C B}{C H} = \frac{C K}{C P} .$

Правые части равны, значит,

$\frac{C B}{C H} = \frac{C H}{C D} \Rightarrow C H^{2} = C B \cdot C D .$

Произведение соседних сторон прямоугольника — его площадь:

$S_{A B C D} = C B \cdot C D = C H^{2} = 7^{2} = 49.$

Ответ: б) $49$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18