ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Точка $H$ лежит на отрезке $BM$, то есть на стороне $BC$, поэтому в прямоугольном треугольнике $AHC$ угол при вершине $C$ равен $\angle ACB=30^{\circ }$, и

$$\angle HAC=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }.$$

Луч $AM$ — биссектриса угла $CAH$, поэтому

$$\angle MAC=\frac{1}{2}\angle HAC=30^{\circ }=\angle MCA.$$

Углы при стороне $AC$ треугольника $AMC$ равны, значит, он равнобедренный: $MA=MC$. Точка $M$ — середина $BC$, поэтому

$$MA=MB=MC.$$

Треугольники $AMB$ и $AMC$ равнобедренные, поэтому $\angle MAB=\angle MBA$ и $\angle MAC=\angle MCA$. Луч $AM$ проходит внутри угла $BAC$, поэтому

$$\angle BAC=\angle MAB+\angle MAC=\angle B+\angle C.$$

С другой стороны, $\angle BAC+\angle B+\angle C=180^{\circ }$, откуда $2\angle BAC=180^{\circ }$ и $\angle BAC=90^{\circ }$. Треугольник $ABC$ прямоугольный. Что и требовалось доказать.

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB$ лежит против угла $30^{\circ }$, поэтому он равен половине гипотенузы:

$$BC=2AB=16,AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{256-64}=8\sqrt{3},MC=\frac{1}{2}BC=8.$$

Угол $B$ равен $60^{\circ }$, поэтому из прямоугольного треугольника $AHB$:

$$AH=AB\sin 60^{\circ }=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.$$

Треугольник $AMC$ равнобедренный ($MA=MC$), поэтому его высота $MQ$, проведённая к основанию, является и медианой. Значит, прямая $MQ$ — серединный перпендикуляр к $AC$, и точка $F$ на ней равноудалена от $A$ и $C$: $FA=FC$.

Точка $F$ лежит на прямой $AH$. Если бы она лежала на луче, противоположном лучу $AH$, то угол $FAC$ был бы равен $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$, а в равнобедренном треугольнике $AFC$ угол при основании тупым быть не может. Значит, $F$ лежит на луче $AH$ и $\angle FAC=60^{\circ }$. Равнобедренный треугольник с углом $60^{\circ }$ при основании равносторонний:

$$AF=AC=8\sqrt{3}.$$

Так как $AF=8\sqrt{3}>4\sqrt{3}=AH$, точка $H$ лежит между $A$ и $F$, и

$$FH=AF-AH=8\sqrt{3}-4\sqrt{3}=4\sqrt{3}.$$

Отрезок $FH$ перпендикулярен прямой $BC$, на которой лежит сторона $MC$, поэтому $FH$ — высота треугольника $CMF$, проведённая к стороне $MC$:

$$S_{CMF}=\frac{1}{2}\cdot MC\cdot FH=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $16\sqrt{3}$.