ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. Обозначим

$$\angle ABP=\angle PBC=\alpha ,\angle ACO=\angle OCB=\beta .$$

Луч $BO$ проходит внутри угла $ABC$, поэтому вторая точка $P$ его пересечения с описанной окружностью лежит на дуге $AC$, не содержащей $B$. Значит, $P$ и $O$ лежат по разные стороны от прямой $AC$ ($O$ — внутри треугольника).

Вписанные углы $PCA$ и $PBA$ опираются на одну дугу $PA$, поэтому

$$\angle PCA=\angle PBA=\alpha .$$

Луч $CA$ лежит между лучами $CP$ и $CO$, поэтому

$$\angle PCO=\angle PCA+\angle ACO=\alpha +\beta .$$

Точка $P$ лежит на продолжении отрезка $BO$ за точку $O$, поэтому угол $POC$ — внешний угол треугольника $BOC$ при вершине $O$. Он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним:

$$\angle POC=\angle OBC+\angle OCB=\alpha +\beta .$$

Итак, $\angle PCO=\angle POC$, и треугольник $POC$ равнобедренный с основанием $OC$. Значит, $OP=CP$. Что и требовалось доказать.

б) Так как $BP$ — биссектриса угла $ABC$,

$$\angle PBC=\angle PBA=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }.$$

Вписанные углы $PAC$ и $PBC$ опираются на одну дугу $PC$, а углы $PCA$ и $PBA$ — на дугу $PA$. Поэтому

$$\angle PAC=\angle PCA=30^{\circ }.$$

Углы при стороне $AC$ треугольника $PAC$ равны, значит, он равнобедренный: $PA=PC$. Пусть $PH$ — его высота, по условию $PH=12$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой: $AH=HC$.

Из прямоугольного треугольника $PHC$:

$$HC=PH\cdot \mathrm{ctg}\angle PCH=12\cdot \mathrm{ctg}30^{\circ }=12\sqrt{3},AC=2HC=24\sqrt{3}.$$

По теореме синусов для треугольника $ABC$:

$$\frac{AC}{\sin \angle ABC}=2R\Rightarrow R=\frac{AC}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{24\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=24.$$

Проверим: по теореме синусов хорда $PC=2R\sin \angle PBC=2\cdot 24\cdot \frac{1}{2}=24$, и тогда $PH=PC\sin 30^{\circ }=12$ — как в условии.

Ответ: б) $24$.