ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OA\perp NA$ и $OB\perp NB$, то есть $\angle NAO=\angle NBO=90^{\circ }$.

Сумма углов четырёхугольника $NAOB$ равна $360^{\circ }$, поэтому

$$\angle ANB+\angle AOB=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }=180^{\circ }.$$

Точки $B$, $O$, $C$ лежат на одной прямой ($BC$ — диаметр), поэтому углы $AOB$ и $AOC$ смежные: $\angle AOB+\angle AOC=180^{\circ }$. Сравнивая два равенства, получаем

$$\angle ANB=\angle AOC.$$

Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA=OB$ как радиусы), поэтому $\angle OAB=\angle OBA$. Точка $O$ лежит на отрезке $BC$, значит, $\angle OBA=\angle CBA$. Угол $AOC$ — внешний угол треугольника $AOB$ при вершине $O$, он равен сумме двух углов, не смежных с ним:

$$\angle AOC=\angle OAB+\angle OBA=2\angle ABC.$$

Итак, $\angle ANB=\angle AOC=2\angle ABC$. Что и требовалось доказать.

б) Угол $BAC$ — вписанный и опирается на диаметр $BC$, поэтому $\angle BAC=90^{\circ }$. В прямоугольном треугольнике $ABC$:

$$\mathrm{tg}\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{14}{36}=\frac{7}{18}.$$

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $NA=NB$. Кроме того, $OA=OB$. Значит, точки $N$ и $O$ равноудалены от концов отрезка $AB$ и обе лежат на серединном перпендикуляре к $AB$. Пусть $H$ — середина $AB$; тогда $NH\perp AB$, и искомое расстояние равно $NH$. При этом

$$HB=\frac{1}{2}AB=18.$$

В равнобедренном треугольнике $ANB$ высота $NH$ является и биссектрисой, поэтому, используя пункт а),

$$\angle HNB=\frac{1}{2}\angle ANB=\angle ABC.$$

В прямоугольном треугольнике $NHB$ тангенс угла $HNB$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$$\mathrm{tg}\angle HNB=\frac{HB}{NH}\Rightarrow NH=\frac{HB}{\mathrm{tg}\angle ABC}=18:\frac{7}{18}=\frac{324}{7}.$$

Ответ: б) $\frac{324}{7}$.