ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

а) Рассмотрим треугольник $BCD$. Точки $F$ и $N$ — середины сторон $BD$ и $CD$, поэтому $FN$ — средняя линия, и $FN\parallel BC$. Точки $M$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $BD$, поэтому $MF$ — тоже средняя линия, и $MF\parallel CD$.

В четырёхугольнике $MCNF$ сторона $MC$ лежит на прямой $BC$, а сторона $CN$ — на прямой $CD$. Получаем

$$MC\parallel FN,CN\parallel MF,$$

то есть противоположные стороны четырёхугольника $MCNF$ попарно параллельны. Значит, $MCNF$ — параллелограмм.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Диагонали $MCNF$ — это $CF$ и $MN$, поэтому прямая $CF$ проходит через середину отрезка $MN$. Что и требовалось доказать.

б) Точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $CD$ треугольника $BCD$, поэтому $MN$ — его средняя линия:

$$MN\parallel BD,MN=\frac{1}{2}BD=\frac{15}{2}.$$

Рассмотрим четырёхугольник $BMKD$. Стороны $BM$ и $KD$ лежат на параллельных прямых $BC$ и $AD$ (основания трапеции), а стороны $MK$ и $BD$ параллельны, так как $MK$ лежит на прямой $MN$. Противоположные стороны попарно параллельны, значит, $BMKD$ — параллелограмм, и

$$MK=BD=15.$$

Заметим, что точка $K$ лежит на продолжении основания $AD$ за точку $D$: в параллелограмме $DK=BM=\frac{1}{2}BC$.

Так как $MN=\frac{15}{2}=\frac{1}{2}MK$, точка $N$ — середина $MK$. Кроме того, $N$ — середина $CD$. Значит, отрезки $MK$ и $CD$ — диагонали четырёхугольника $MCKD$ — пересекаются в точке $N$ и делятся ею пополам, то есть $MCKD$ — параллелограмм.

Найдём угол между диагоналями. Углы $MNC$ и $BDC$ — соответственные при параллельных прямых $MN$, $BD$ и секущей $CD$, поэтому

$$\angle MNC=\angle BDC=30^{\circ }.$$

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

$$S_{MCKD}=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot CD\cdot \sin \angle MNC=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 10\cdot \frac{1}{2}=37,5.$$

Для проверки: диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника равной площади, и $S_{MNC}=\frac{1}{2}\cdot MN\cdot NC\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \frac{15}{2}\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=\frac{75}{8}$, а $4\cdot \frac{75}{8}=37,5$.

Ответ: б) $37,5$.