Дан ромб ABCD. Точки K и P — середины сторон DC и BC соответственно. Проведены AK и AP таким образом, что они пересекают… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Квадрат, прямоугольник, ромб сложная 2025 развёрнутое

Дан ромб $A B C D .$ Точки $K$ и $P$ — середины сторон $D C$ и $B C$ соответственно. Проведены $A K$ и $A P$ таким образом, что они пересекают диагональ $B D$ в точках $T$ и $Q$ соответственно.

а) Докажите, что сумма площадей треугольников $D K T$ и $QB P$ равна площади треугольника $A QT .$

б) Известно, что в $T K C P Q$ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если сторона ромба равна $65 .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Ромб — параллелограмм, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам: $A O = O C$ , $B O = O D$ . Кроме того, диагонали ромба перпендикулярны.

Рассмотрим треугольник $A D C$ . Отрезок $D O$ — его медиана ( $O$ — середина $A C$ ), отрезок $A K$ — тоже медиана ( $K$ — середина $D C$ ). Точка $T$ лежит на обеих медианах, значит, $T$ — точка пересечения медиан треугольника $A D C$ . Медианы делятся точкой пересечения в отношении $2 : 1$ , считая от вершины:

$D T : T O = 2 : 1, A T : T K = 2 : 1.$

Точно так же в треугольнике $A B C$ отрезки $B O$ и $A P$ — медианы, и $Q$ — точка их пересечения:

$B Q : QO = 2 : 1, A Q : QP = 2 : 1.$

Обозначим $O T = x$ . Тогда $D T = 2 x$ , $O D = 3 x$ , а так как $O B = O D$ , то $O B = 3 x$ , $QO = x$ , $B Q = 2 x$ . Получаем, что точки $Q$ и $T$ делят диагональ $B D$ на три равные части:

$B Q = QT = T D = 2 x, B D = 6 x .$

Пусть $S$ — площадь ромба. Диагональ $B D$ делит ромб на два равных треугольника, поэтому $S_{A B D} = \frac{S}{2}$ .

Треугольники $A B Q$ , $A QT$ и $A T D$ имеют общую вершину $A$ , а их основания $B Q$ , $QT$ , $T D$ лежат на прямой $B D$ . Значит, у них общая высота, проведённая из $A$ , и их площади относятся как основания. Основания равны и составляют по трети $B D$ , поэтому

$S_{A B Q} = S_{A QT} = S_{A T D} = \frac{1}{3} S_{A B D} = \frac{S}{6} .$

Теперь рассмотрим треугольники $QB P$ и $QB A$ . Их основания $QP$ и $Q A$ лежат на прямой $A P$ , а вершина $B$ общая, поэтому высота из $B$ у них общая и

$S_{QB P} = \frac{QP}{Q A} \cdot S_{QB A} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{6} = \frac{S}{12} .$

Аналогично у треугольников $D K T$ и $D A T$ основания $T K$ и $T A$ лежат на прямой $A K$ , а вершина $D$ общая:

$S_{D K T} = \frac{T K}{T A} \cdot S_{D A T} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{6} = \frac{S}{12} .$

Складываем:

$S_{D K T} + S_{QB P} = \frac{S}{12} + \frac{S}{12} = \frac{S}{6} = S_{A QT} .$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть окружность радиуса $r$ вписана в пятиугольник $T K C P Q$ : она лежит внутри него и касается всех его сторон $T K$ , $K C$ , $C P$ , $P Q$ , $QT$ .

Пятиугольник лежит внутри треугольника $B C D$ , а его стороны $QT$ , $K C$ и $C P$ — части сторон $B D$ , $D C$ и $C B$ этого треугольника. Значит, окружность лежит внутри треугольника $B C D$ и касается всех трёх его сторон, то есть это вписанная окружность треугольника $B C D$ . Поэтому

$r = \frac{S _{B C D}}{p _{B C D}},$

где $p_{B C D}$ — полупериметр. Чтобы найти площадь и полупериметр, нужно знать $B D = 6 x$ , то есть найти $x$ .

Пятиугольник $T K C P Q$ вместе с треугольником $T D K$ составляет выпуклый четырёхугольник $Q D C P$ . Наша окружность лежит внутри него и касается всех четырёх его сторон: $Q D$ (на ней лежит $QT$ ), $D C$ (на ней лежит $K C$ ), $C P$ и $P Q$ . Значит, в четырёхугольник $Q D C P$ вписана окружность, а у описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:

$QP + D C = Q D + C P .$

Подставим $Q D = QT + T D = 4 x$ , $C P = \frac{1}{2} B C = 35$ , $D C = 65$ :

$QP = Q D + C P - D C = 4 x + 35 - 65 = 4 x - 35 .$

Выразим $QP$ по-другому. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольник $A O D$ прямоугольный, и по теореме Пифагора

$A O^{2} = A D^{2} - O D^{2} = (65)^{2} - (3 x)^{2} = 180 - 9 x^{2} .$

Треугольник $A O Q$ тоже прямоугольный ( $∠ A O Q = 9 0^{\circ}$ ), поэтому

$A Q^{2} = A O^{2} + O Q^{2} = 180 - 9 x^{2} + x^{2} = 180 - 8 x^{2} .$

Так как $A Q : QP = 2 : 1$ , имеем

$QP = \frac{1}{2} A Q = \frac{1}{2} 180 - 8 x^{2} = \frac{180 - 8 x ^{2}}{4} = 45 - 2 x^{2} .$

Приравниваем два выражения для $QP$ :

$4 x - 35 = 45 - 2 x^{2} .$

Правая часть неотрицательна, поэтому должно быть $4 x - 35 ⩾ 0$ . При этом условии возведение в квадрат — равносильный переход:

$16 x^{2} - 245 x + 45 = 45 - 2 x^{2} \Leftrightarrow 18 x^{2} - 245 x = 0 \Leftrightarrow x (18 x - 245) = 0.$

Так как $x > 0$ , получаем

$x = \frac{24 5}{18} = \frac{4 5}{3} .$

Условие выполнено: $4 x = \frac{16 5}{3} > \frac{9 5}{3} = 35$ .

Тогда

$B D = 6 x = 85, O D = 3 x = 45, O C = D C^{2} - O D^{2} = 180 - 80 = 10.$

Отрезок $C O$ перпендикулярен $B D$ , то есть это высота треугольника $B C D$ , проведённая к стороне $B D$ :

$S_{B C D} = \frac{1}{2} \cdot B D \cdot O C = \frac{1}{2} \cdot 85 \cdot 10 = 405 .$

Полупериметр треугольника $B C D$ :

$p_{B C D} = \frac{B D + D C + C B}{2} = \frac{8 5 + 6 5 + 6 5}{2} = 105 .$

По формуле $S = p r$ находим радиус:

$r = \frac{S _{B C D}}{p _{B C D}} = \frac{40 5}{10 5} = 4.$

Ответ: б) $4$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18