ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Окружности касаются внешним образом, а линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания. Поэтому точка $C$ лежит на отрезке $O_1{O}_2$ и

$$O_{1}C=11,O_{2}C=21,O_1{O}_2=11+21=32.$$

Радиусы $O_{1}A$ и $O_{2}B$ параллельны, прямая $O_1{O}_2$ для них — секущая. Условие не говорит, лежат ли точки $A$ и $B$ по одну сторону от прямой $O_1{O}_2$ или по разные, поэтому разберём оба случая.

Сначала найдём то, что одинаково в обоих случаях. Рассмотрим треугольник $A{O}_{1}C$. В нём $O_{1}A=O_{1}C=11$ как радиусы первой окружности, значит, он равнобедренный. Точка $C$ лежит на луче $O_1{O}_2$, поэтому $\angle A{O}_{1}C=\angle A{O}_1{O}_2=60^{\circ }$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, а вместе они составляют $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$, то есть каждый равен $60^{\circ }$. Все углы треугольника $A{O}_{1}C$ равны $60^{\circ }$ — он равносторонний:

$$AC=O_{1}C=11,\angle AC{O}_1=60^{\circ }.$$

Случай 1. Точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $O_1{O}_2$.

Тогда углы $A{O}_1{O}_2$ и $B{O}_2{O}_1$ — односторонние при параллельных прямых $O_{1}A$, $O_{2}B$ и секущей $O_1{O}_2$. Сумма односторонних углов равна $180^{\circ }$, поэтому

$$\angle B{O}_{2}C=\angle B{O}_2{O}_1=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }.$$

Треугольник $B{O}_{2}C$ равнобедренный: $O_{2}B=O_{2}C=21$ как радиусы второй окружности. Его углы при основании $BC$ равны

$$\angle O_{2}CB=\angle O_{2}BC=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }.$$

Сторону $BC$ найдём по теореме косинусов из треугольника $B{O}_{2}C$, учитывая, что $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$:

$$B{C}^2=21^2+21^2-2\cdot 21\cdot 21\cdot \cos 120^{\circ }=21^2+21^2+21^2=3\cdot 21^2,BC=21\sqrt{3}.$$

Найдём угол $ACB$. Будем отсчитывать углы от луча $C{O}_1$. Луч $CA$ образует с ним угол $60^{\circ }$, а луч $CB$ — угол $\angle O_{1}CB=180^{\circ }-\angle O_{2}CB=180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }$ (углы $O_{1}CB$ и $O_{2}CB$ смежные). Оба луча лежат в одной полуплоскости относительно прямой $O_1{O}_2$, поэтому луч $CA$ проходит между лучами $C{O}_1$ и $CB$, и

$$\angle ACB=150^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ }.$$

Треугольник $ACB$ прямоугольный с катетами $AC=11$ и $BC=21\sqrt{3}$. По теореме Пифагора

$$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{121+441\cdot 3}=\sqrt{121+1323}=\sqrt{1444}=38.$$

Случай 2. Точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $O_1{O}_2$.

Тогда углы $A{O}_1{O}_2$ и $B{O}_2{O}_1$ — накрест лежащие при параллельных прямых $O_{1}A$, $O_{2}B$ и секущей $O_1{O}_2$, поэтому они равны:

$$\angle B{O}_{2}C=\angle B{O}_2{O}_1=60^{\circ }.$$

Треугольник $B{O}_{2}C$ равнобедренный ($O_{2}B=O_{2}C=21$) с углом $60^{\circ }$ при вершине, значит, как и треугольник $A{O}_{1}C$, он равносторонний:

$$BC=21,\angle O_{2}CB=60^{\circ }.$$

Углы $AC{O}_1$ и $AC{O}_2$ смежные (точка $C$ лежит между $O_1$ и $O_2$), поэтому $\angle AC{O}_2=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Тогда

$$\angle AC{O}_2+\angle O_{2}CB=120^{\circ }+60^{\circ }=180^{\circ }.$$

Лучи $CA$ и $CB$ лежат по разные стороны от прямой $O_1{O}_2$, а сумма углов, которые они образуют с лучом $C{O}_2$, равна $180^{\circ }$. Значит, угол $ACB$ развёрнутый: точки $A$, $C$, $B$ лежат на одной прямой, причём $C$ — между $A$ и $B$. Отсюда

$$AB=AC+CB=11+21=32.$$

Оба случая возможны, поэтому задача имеет два ответа.

Ответ: $38$ или $32$.