ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Центр $O$ вписанной окружности равноудалён от всех сторон четырёхугольника, поэтому лежит на биссектрисах его углов. Значит, $LO$ — биссектриса угла $KLM$ и

$$\angle OLM=\frac{1}{2}\angle KLM=30^{\circ }.$$

Пусть прямая $LO$ пересекает прямую $MN$ в точке $A^{\prime }$ (они пересекаются, так как $\angle OLM+\angle LMN=30^{\circ }+60^{\circ }<180^{\circ }$). В треугольнике $LM{A}^{\prime }$

$$\angle L{A}^{\prime }M=180^{\circ }-\angle A^{\prime }LM-\angle LM{A}^{\prime }=180^{\circ }-30^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ },$$

то есть прямая $LO$ перпендикулярна $MN$.

С другой стороны, радиус $OA$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $MN$. Через точку $O$ проходит только одна прямая, перпендикулярная $MN$. Значит, прямые $LO$ и $OA$ совпадают, а $A^{\prime }$ и $A$ — одна и та же точка (основание перпендикуляра из $O$ на $MN$). Итак, точка $A$ лежит на прямой $LO$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $LA=3\sqrt{3}$. Треугольник $LAM$ прямоугольный ($\angle LAM=90^{\circ }$) с углом $\angle LMA=60^{\circ }$. Из него

$$ML=\frac{LA}{\sin 60^{\circ }}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=6,MA=ML\cdot \cos 60^{\circ }=6\cdot \frac{1}{2}=3.$$

Пусть $r=OA$ — радиус окружности. Луч $MO$ — биссектриса угла $LMN$, поэтому $\angle OMA=30^{\circ }$. Из прямоугольного треугольника $OAM$

$$r=OA=MA\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}.$$

(То же даёт свойство биссектрисы $MO$ в треугольнике $MAL$: $\frac{LO}{OA}=\frac{ML}{MA}=2$, откуда $OA=\frac{1}{3}LA=\sqrt{3}$.)

Пусть окружность касается стороны $NK$ в точке $R$. В четырёхугольнике $ANRO$ углы $OAN$ и $ORN$ прямые (радиусы в точки касания), угол $ANR=\angle MNK=90^{\circ }$, значит, и четвёртый угол прямой — это прямоугольник. Его соседние стороны $OA=OR=r$ равны, поэтому $ANRO$ — квадрат и

$$AN=OA=\sqrt{3}.$$

Точка касания $A$ лежит на стороне $MN$, поэтому

$$MN=MA+AN=3+\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $3+\sqrt{3}$.