ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $AB=2c$ и $BC=2a$. Так как $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$, то $AE=BE=c$ и $BF=FC=a$.

Отрезок $EF$ соединяет середины двух сторон, поэтому это средняя линия треугольника $ABC$: $EF\parallel AC$ и

$$EF=\frac{1}{2}AC=3.$$

Вписанная окружность треугольника касается прямой $AC$ и, по условию, отрезка $EF$, параллельного $AC$. Значит, она лежит в полосе между прямыми $AC$ и $EF$, и её точки касания со сторонами $AB$ и $BC$ лежат на отрезках $AE$ и $FC$. Получается, что окружность касается всех четырёх сторон четырёхугольника $AEFC$, то есть он описан около неё.

В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны (отрезки касательных из одной вершины равны). Поэтому

$$AE+FC=EF+AC\Rightarrow c+a=3+6=9.$$

Тогда периметр треугольника $ABC$ равен

$$P_{ABC}=2c+2a+AC=2(a+c)+6=2\cdot 9+6=24.$$

Что и требовалось доказать.

Другой способ. Пусть $h$ — высота треугольника, проведённая к $AC$. Средняя линия $EF$ удалена от $AC$ на $\frac{h}{2}$, а окружность касается обеих параллельных прямых, поэтому её диаметр равен $\frac{h}{2}$ и $r=\frac{h}{4}$. По формуле $S=pr$, где $p$ — полупериметр, $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot h=p\cdot \frac{h}{4}$, откуда $p=12$ и $P_{ABC}=24$.

б) Пусть $\angle ACB=90^{\circ }$. По теореме Пифагора для треугольника $ABC$:

$$A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2\Rightarrow 36+4a^2=4c^2\Rightarrow 9=c^2-a^2=(c-a)(c+a).$$

Из пункта а) $c+a=9$, поэтому $c-a=1$. Решим систему:

$$\{\begin{array}{l}c+a=9\\ c-a=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}c=5\\ a=4.\end{array}$$

Значит, $AB=10$, $BC=8$, $FC=4$.

Четырёхугольник $AEFC$ — трапеция с основаниями $EF=3$ и $AC=6$ (так как $EF\parallel AC$). Сторона $FC$ лежит на $BC\perp AC$, поэтому $FC$ — высота этой трапеции. Её площадь

$$S_{AEFC}=\frac{EF+AC}{2}\cdot FC=\frac{3+6}{2}\cdot 4=18.$$

Проверка: $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$, треугольник $EBF$ подобен $ABC$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$, его площадь $\frac{1}{4}\cdot 24=6$, и $S_{AEFC}=24-6=18$. Кроме того, радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника $r=\frac{6+8-10}{2}=2$, и её диаметр $4$ действительно равен расстоянию $FC$ между $AC$ и $EF$.

Ответ: б) $18$.