ABC равносторонний треугольник. На стороне AC выбрана точка M… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники средняя 2023 развёрнутое

$A B C$ равносторонний треугольник. На стороне $A C$ выбрана точка $M$ , серединный перпендикуляр к отрезку $B M$ пересекает сторону $A B$ в точке $E$ , а сторону $B C$ в точке $K$ .

а) Докажите, что угол $A E M$ равен углу $C M K$ .

б) Найти отношение площадей треугольников $A E M$ и $C M K$ , если $A M : C M = 1 : 4$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Сделаем рисунок: $E K$ — серединный перпендикуляр к отрезку $B M$ , точка $E$ лежит на $A B$ , точка $K$ — на $B C$ .

Серединный перпендикуляр EK к отрезку BM

Обозначим $∠ K M C = α$ .

Рисунок к решению

Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Точки $K$ и $E$ лежат на серединном перпендикуляре к $B M$ , поэтому

$K B = K M, E B = E M .$

Значит, треугольники $B K M$ и $B E M$ равнобедренные, и углы при их основании $B M$ равны:

$∠ K M B = ∠ K B M, ∠ E M B = ∠ E B M .$

Прямая $E K$ пересекает отрезок $B M$ в его середине, поэтому точки $E$ и $K$ лежат по разные стороны от прямой $B M$ , и луч $M B$ проходит внутри угла $K M E$ . А луч $B M$ проходит внутри угла $A B C$ , так как $M$ лежит на стороне $A C$ . Поэтому

$∠ K M E = ∠ K M B + ∠ B M E = ∠ K B M + ∠ M B E = ∠ K B E = ∠ A B C = 6 0^{\circ}$

(все углы равностороннего треугольника равны $6 0^{\circ}$ ).

Углы $A M E$ , $E M K$ и $K M C$ вместе составляют развёрнутый угол $A M C$ , поэтому

$∠ A M E = 18 0^{\circ} - ∠ E M K - ∠ K M C = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - α = 12 0^{\circ} - α .$

В треугольнике $A E M$ угол $E A M$ равен $6 0^{\circ}$ . По сумме углов треугольника

$∠ A E M = 18 0^{\circ} - ∠ E A M - ∠ A M E = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - (12 0^{\circ} - α) = α .$

Значит, $∠ A E M = α = ∠ C M K$ . Что и требовалось доказать.

б) Пусть $A M = x$ . Так как $A M : C M = 1 : 4$ , то $C M = 4 x$ , $A C = 5 x$ , и сторона равностороннего треугольника

$A B = B C = A C = 5 x .$

Рисунок к решению

В треугольниках $A E M$ и $C M K$ углы $E A M$ и $M C K$ равны $6 0^{\circ}$ , а $∠ A E M = ∠ C M K$ по пункту а). По двум углам треугольники подобны, причём вершине $A$ соответствует $C$ , вершине $E$ — $M$ , вершине $M$ — $K$ . Обозначим коэффициент подобия через $k$ :

$\frac{C M}{A E} = \frac{C K}{A M} = \frac{K M}{E M} = k .$

Выразим через $k$ стороны:

$A E = \frac{C M}{k} = \frac{4 x}{k}, C K = k \cdot A M = k x .$

Тогда

$B E = A B - A E = 5 x - \frac{4 x}{k}, B K = B C - C K = 5 x - k x .$

По пункту а) $E M = E B$ и $K M = K B$ , поэтому

$E M = 5 x - \frac{4 x}{k}, K M = 5 x - k x .$

Подставим в равенство $K M = k \cdot E M$ :

$5 x - k x = k (5 x - \frac{4 x}{k}) = 5 k x - 4 x \Rightarrow 9 x = 6 k x \Rightarrow k = \frac{3}{2} .$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$\frac{S _{C M K}}{S _{A E M}} = k^{2} = \frac{9}{4} \Rightarrow \frac{S _{A E M}}{S _{C M K}} = \frac{4}{9} .$

Проверим через периметры. Так как $E M = E B$ и $K M = K B$ ,

$P_{A E M} = A E + E M + A M = A E + E B + A M = A B + A M = 6 x,$

$P_{C M K} = C M + M K + K C = C M + K B + K C = C M + B C = 9 x .$

Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия: $\frac{P _{C M K}}{P _{A E M}} = \frac{9 x}{6 x} = \frac{3}{2} = k$ — совпадает.

Ответ: б) $\frac{4}{9}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18