Две окружности касаются внешним образом в точке Отрезки и — диаметры первой и второй окружностей. Из точки проведена касательная ко второй окружности, которая вторично пересекает первую окружность в точке Луч вторично пересекает первую окружность в точке
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите площадь треугольника если
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Точка касания двух окружностей лежит на линии их центров. Центр первой окружности — середина диаметра , центр второй — середина диаметра , поэтому прямые и совпадают с линией центров. Значит, точки , , лежат на одной прямой, причём — между и (окружности касаются внешним образом).
а) Угол вписан во вторую окружность и опирается на её диаметр , поэтому , то есть .
Угол вписан в первую окружность и опирается на её диаметр , поэтому , то есть .
Точки , , лежат на одной прямой (точка лежит на луче ). Получаем, что прямые и перпендикулярны одной и той же прямой , а значит, параллельны: . Что и требовалось доказать.
б) Пусть , . Точка лежит на отрезке , поэтому .
Пусть — середина , то есть центр второй окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому и .
Угол вписан в первую окружность и опирается на диаметр , поэтому .
Рассмотрим прямоугольные треугольники и . Угол у них общий ( лежит на , — на ), поэтому они подобны по острому углу:
Пусть . Тогда и радиус второй окружности
Из того же отношения подобия
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике :
Отсюда и
Теперь вспомним пункт а): , поэтому — трапеция с основаниями и , а её диагонали и пересекаются в точке .
У треугольников и общее основание , а вершины и лежат на прямой, параллельной , поэтому их высоты равны и . Точка лежит на и на , поэтому
Вычитая , получаем .
В треугольнике отрезок — высота к стороне (так как ). Значит,
Ответ: б) .